2.5 Questions de couche limite
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Une r´ ecriture de la formule ci-dessus est
u
0 (x 1 ,x 2 )=ε
∂u
0
1
∂x 2
(x 1 , 0)
x 2
ε
e 1 + O(ε),
(2.79)
et fait apparaˆ ıtre au membre de droite un produit d’une fonction ε
∂u
0
1
∂x 2
(x 1 , 0)
de la variable macroscopique x 1 par une fonction de la variable microscopique
x 2
ε
et p´ eriodique de la variable macroscopique x 1 . Ceci donne l’id´ ee de chercher
la correction (u
c ,p
c )s o u sl am ˆ eme forme, ` as a v o i r
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
u
c (x,
x
ε
)=
∂u
0
1
∂x 2
(x 1 , 0) (v(
x
ε
)− ),
p
c (x,
x
ε
)=
∂u
0
1
∂x 2
(x 1 , 0) q(
x
ε
),
(2.80)
o` u v(·)e tq(·)s o n tp ´ eriodiques (de p´ eriode 1) en y,e to `
u nous allons imposer (nous admettons que cette exigence est compatible avec ce que nous
imposerons ensuite) que v(
·
ε
)− et q(
·
ε
)d ´ ecroissent exponentiellement
rapidement en y 2 quand y 2 −→ +∞.
En reportant cette forme de (u
c ,p
c ) dans (2.76) et en ins´ erant (u
ε ,p
ε )
ainsi obtenus dans l’´ equation de la premi` ere ligne de (2.70), on trouve (apr` es
un long calcul sans difficult´ e que le lecteur peut v´ erifier)
−µε∆u
0 + ∇p
0 +
∂u
0
1
∂x 2
(x 1 , 0) [−µ∆v(
x
ε
)+∇q(
x
ε
)]
−2µε
∂
2 u
0
1
∂x 1 ∂x 2
(x 1 , 0), 0
·∇
v(
x
ε
)
+εq(
x
ε
)
∂
2 u
0
1
∂x 1 ∂x 2
(x 1 , 0), 0
− µε
∂
3 u
0
1
∂x 2
1 ∂x 2
(x 1 , 0)
v(
x
ε
)−
= f.
(2.81)
Comme v et q sont exponentiellement d´ ecroissants par rapport `
alav ariabley 2
quand celle-ci tend vers l’infini, on sait que les termes de l’´ equation ci-dessus
qui contiennent v et q sont exponentiellement petits quand ε tend vers 0. On
admet qu’il en est de mˆ eme pour les termes contenant des d´ eriv´ ees de v et q.
L’ordre dominant est donc
−µε∆u
0 + ∇p
0 = f,
ce qui redonne la premi` ere ligne de (2.71). Ensuite, on utilise (2.73) pour
affirmer que parmi les termes exponentiellement d´ ecroissants l’ordre dominant
est
∂u
0
1
∂x 2
(x 1 , 0) [−µ∆v(
x
ε
)+∇q(
x
ε
)]=0.