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2 Techniques d’homog´ en´ eisation
–2-o nr ´ esoudra alors le probl` eme de Stokes (2.74) sur le domaine Ω 0 .
Dans la suite de cette section, nous allons “justifier” cette Proposition 2.40.
El´ ements de preuve de la Proposition 2.40 :
Nous commen¸ cons par ´ ecrire le d´ eveloppement
⎧
⎨
⎩
u
ε (x)=u
0 (x)+εu
c (x,
x
ε
),
p
ε (x)=p
0 (x)+εp
c (x,
x
ε
),
(2.76)
dans l’esprit du d´ eveloppement ` ad e u x´ echelles que nous avons vu dans la
section pr´ ec´ edente. L’indice sup´ erieur c figure la correction microscopique due
` a la couche limite. Dans notre cas, nous exigeons les propri´ et´ es suivantes sur
le couple (u
c ,p
c ) : les deux fonctions d´ ecroissent ` a vitesse exponentielle quand
x 2
ε
tend vers +∞,e ts o n tp ´ eriodiques en la variable
x 1
ε
. D’autre part, les
fonctions (u
0 ,p
0 ) sont les corrections macroscopiques de premier ordre (en ε)
c a re l l e sn ed ´ ependent pas de la variable rapide
x
ε
.
Evaluons maintenant l’erreur que nous effectuons en rempla¸ cant comme
nous l’avons fait ci-dessus brutalement le couple (u
ε ,p
ε ) par le couple (u
0 ,p
0 ).
Comme l’´ equation ne change pas et que seul change le bord, l’int´ egralit´ ed e
l’erreur que nous commettons est due au fait que nous imposons `
atortu
0 (x 2 =
0) = 0 au lieu de l’imposer le long de Γ ε .O r
u
0 (x 1 ,x 2 )=u
0 (x 1 , 0) + x 2
∂u
0
∂x 2
(x 1 , 0) +
1
2
x
2
2
∂
2 u
0
∂x 2
2
(x 1 ,ζ(x 1 ,x 2 )x 2 )
2 , (2.77)
pour un certain ζ(x 1 ,x 2 ) ∈]0, 1[. Nous avons u
0 (x 1 , 0) = 0, et x
2
2
∂
2 u
0
∂x 2
2
= O(ε)
d` es que x 2 est de l’ordre ε (ce qui est le cas pour (x 1 ,x 2 ) ∈ Γ ε ) au vu de l’hypoth` ese (2.73). De plus, comme u
0 est nul sur Γ 0 ,o ns a i t
∂u
0
∂x 1
(x 1 , 0) = 0,
et en utilisant le caract` ere ` a divergence nulle de u
0 qui se traduit par
∂u
0
2
∂x 2
(x 1 , 0) = −
∂u
0
1
∂x 1
= 0, cela entraˆ ıne donc
∂u
0
∂x 2
(x 1 , 0) =
∂u
0
1
∂x 2
(x 1 , 0)e 1 .
En reportant ces r´ esultats dans (2.77), on obtient
u
0 (x 1 ,x 2 )=
∂u
0
1
∂x 2
(x 1 , 0) x 2 e 1 + O(ε),
(2.78)
pour tout (x 1 ,x 2 ) plac´ es u rΓ ε . C’est au premier ordre en ε l’erreur que nous
avons commise en rempla¸ cant u
ε par u
0 .
2 Techniques d’homog´ en´ eisation
–2-o nr ´ esoudra alors le probl` eme de Stokes (2.74) sur le domaine Ω 0 .
Dans la suite de cette section, nous allons “justifier” cette Proposition 2.40.
El´ ements de preuve de la Proposition 2.40 :
Nous commen¸ cons par ´ ecrire le d´ eveloppement
⎧
⎨
⎩
u
ε (x)=u
0 (x)+εu
c (x,
x
ε
),
p
ε (x)=p
0 (x)+εp
c (x,
x
ε
),
(2.76)
dans l’esprit du d´ eveloppement ` ad e u x´ echelles que nous avons vu dans la
section pr´ ec´ edente. L’indice sup´ erieur c figure la correction microscopique due
` a la couche limite. Dans notre cas, nous exigeons les propri´ et´ es suivantes sur
le couple (u
c ,p
c ) : les deux fonctions d´ ecroissent ` a vitesse exponentielle quand
x 2
ε
tend vers +∞,e ts o n tp ´ eriodiques en la variable
x 1
ε
. D’autre part, les
fonctions (u
0 ,p
0 ) sont les corrections macroscopiques de premier ordre (en ε)
c a re l l e sn ed ´ ependent pas de la variable rapide
x
ε
.
Evaluons maintenant l’erreur que nous effectuons en rempla¸ cant comme
nous l’avons fait ci-dessus brutalement le couple (u
ε ,p
ε ) par le couple (u
0 ,p
0 ).
Comme l’´ equation ne change pas et que seul change le bord, l’int´ egralit´ ed e
l’erreur que nous commettons est due au fait que nous imposons `
atortu
0 (x 2 =
0) = 0 au lieu de l’imposer le long de Γ ε .O r
u
0 (x 1 ,x 2 )=u
0 (x 1 , 0) + x 2
∂u
0
∂x 2
(x 1 , 0) +
1
2
x
2
2
∂
2 u
0
∂x 2
2
(x 1 ,ζ(x 1 ,x 2 )x 2 )
2 , (2.77)
pour un certain ζ(x 1 ,x 2 ) ∈]0, 1[. Nous avons u
0 (x 1 , 0) = 0, et x
2
2
∂
2 u
0
∂x 2
2
= O(ε)
d` es que x 2 est de l’ordre ε (ce qui est le cas pour (x 1 ,x 2 ) ∈ Γ ε ) au vu de l’hypoth` ese (2.73). De plus, comme u
0 est nul sur Γ 0 ,o ns a i t
∂u
0
∂x 1
(x 1 , 0) = 0,
et en utilisant le caract` ere ` a divergence nulle de u
0 qui se traduit par
∂u
0
2
∂x 2
(x 1 , 0) = −
∂u
0
1
∂x 1
= 0, cela entraˆ ıne donc
∂u
0
∂x 2
(x 1 , 0) =
∂u
0
1
∂x 2
(x 1 , 0)e 1 .
En reportant ces r´ esultats dans (2.77), on obtient
u
0 (x 1 ,x 2 )=
∂u
0
1
∂x 2
(x 1 , 0) x 2 e 1 + O(ε),
(2.78)
pour tout (x 1 ,x 2 ) plac´ es u rΓ ε . C’est au premier ordre en ε l’erreur que nous
avons commise en rempla¸ cant u
ε par u
0 .