2.5 Questions de couche limite
77
ε x Y
Ω ε
Γ ε
Ω 0
Γ 0
Fig. 2.6. G´ eom´ etrie de la paroi rugueuse Γε. On a fait figurer la cellule de p´ eriodicit´ e
ε × Y . En premi` ere approximation, on remplacerait Γε par Γ0. On va faire mieux.
Ces hypoth` eses correspondent ` au n´ ecoulement non turbulent.
Il est clair que l’approximation de u
ε par u
0 est un peu brutale. Plus
pr´ ecis´ ement, comme u
ε n’est pas nulle sur Γ 0 mais y est approximativement
nulle (` a l’ordre 1 en ε), on commet une erreur en approchant u
ε par u
0 qu’il
va nous falloir corriger. Voyons comment.
Nous allons montrer la
Proposition 2.40. La solution (u
ε ,p
ε ) peut ˆ etre approch´ ee plus pr´ ecis´ ement
par le couple (u
1 ,p
1 ) solution du probl` eme suivant :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
−µε∆u
1 + ∇p
1 = f, dans Ω 0
div u
1 =0 , dans Ω 0
εµ
∂u
1
∂n
+
µ
v
u
1
1 =0 , sur Γ 0
u
1
2 =0 , sur Γ 0
(2.74)
o` u le scalaire v est d´ efini de la mani` ere suivante : on cherche le seul triplet
(v, v, q) tel que
– v et q sont p´ eriodiques dans la direction x 1 ,
– v − v et q et leurs d´ eriv´ ees sont ` ad ´ ecroissance exponentielle quand
y 2 =
x 2
ε
−→ +∞,
et le couple (v, q) est solution du probl` eme de Stokes suivant sur la cellule de
p´ eriodicit´ e Y
⎧
⎨
⎩
−µ∆v + ∇q =0 ,
dans Y
div v =0 ,
dans Y
v = −y 2 e 1 , sur le bord des asp´ erit´ es.
(2.75)
Pour approcher la solution (u
ε ,p
ε ) de (2.70), on proc´ edera donc comme suit :
–1-o nd ´ eterminera la solution (v, q)( e tv) du probl` e m ed eS t o k e ss u rl a
cellule de p´ eriodicit´ e,