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2 Techniques d’homog´ en´ eisation
sur la demie-droite x>0. Pour ´ eviter de devoir r´ esoudredanslacouchelimite
au voisinage de 0
+ , on veut trouver une condition ´ equivalente. L’´ etablir.
2.5.2 Couche limite rugueuse
Nous ´ etudions dans cette section le probl` eme plus complexe de l’´ ecoulement
de fluide visqueux le long d’une paroi rugueuse. Pour les besoins de l’´ etude,
nous supposons que les rugosit´ es de la paroi sont p´ eriodiques.
On se place en dimension 2. Les coordonn´ ees sont (x 1 ,x 2 ). Le fluide occupe
un domaine, infini vers le haut, du demi plan sup´ erieur x 2 > 0. La paroi
inf´ erieure du domaine n’est pas exactement la droite Γ 0 = {x 2 =0}. Elle n’en
est pas tr` es ´ eloign´ ee, mais c’est une courbe Γ ε pr´ esentant une p´ eriodicit´ e` a
l’´ echelle ε dans le sens x 1 et une “hauteur” ε dans le sens x 2 .O ns er e po r t e r a
` a la Figure 2.6. Le domaine Ω ε occup´ e par le fluide est d´ elimit´ ep a rl ap a r o i
Γ ε vers le bas et est infini vers le haut. On note par ailleurs Ω 0 le demi-plan
x 2 > 0. L’´ ecoulement stationnaire du fluide est suppos´ er ´ egi par l’´ equation de
Stokes
⎧
⎨
⎩
−ν∆u
ε + ∇p
ε = f dans Ω ε
div u
ε = 0 dans Ω ε
u
ε =0s urΓ ε .
(2.70)
La forme des asp´ erit´ es de la paroi est, on l’a dit, p´ eriodique, de sorte que
le domaine Ω ε peut ˆ etre d´ ecoup´ e en une collection de domaines ε × Y accoll´ es
selon Ox 1 . La cellule de p´ eriodicit´ e (au sens des sections pr´ ec´ edentes ) est
donc le domaine Y : infini vers le haut, p´ eriodique de largeur 1 dans le sens
x 1 .
Brutalement, une id´ ee naturelle est de remplacer le domaine Ω ε par le
domaine Ω 0 , ce qui revient `
a supposer que la vitesse du fluide est nulle sur
le bord x 2 = 0 (on parle d’une condition de non glissement sur Γ 0 ), alors
qu’en fait elle est nulle sur la paroi rugueuse Γ ε . La vitesse obtenue par cette
simplification est la solution u
0 de
⎧
⎨
⎩
−ν∆u
0 + ∇p 0 = f dans Ω 0
div u
0 = 0 dans Ω 0
u
0 =0s urΓ 0 .
(2.71)
Pour des raisons d’origine physique que nous ne d´ etaillons pas, mais qui
rendent exactement le probl` eme int´ eressant pour notre ´ etude, nous regardons
le probl` eme dans le r´ egime o` u la viscosit´ e du fluide ν v´ erifie
ν = µε avec µ constante fixe
(2.72)
lorsque ε tend vers z´ ero. Il s’agit donc d’une viscosit´ e “petite”. Une deuxi` eme
hypoth` ese que nous ferons est de supposer que
√
ε
∂u
0
∂x 2
,ε
∂
2 u
0
∂x 2
2
,
√
ε
∂
2 u
0
∂x 1 ∂x 2
sont d’ordre O(1) en tous les points de Γ 0 .
(2.73)
2 Techniques d’homog´ en´ eisation
sur la demie-droite x>0. Pour ´ eviter de devoir r´ esoudredanslacouchelimite
au voisinage de 0
+ , on veut trouver une condition ´ equivalente. L’´ etablir.
2.5.2 Couche limite rugueuse
Nous ´ etudions dans cette section le probl` eme plus complexe de l’´ ecoulement
de fluide visqueux le long d’une paroi rugueuse. Pour les besoins de l’´ etude,
nous supposons que les rugosit´ es de la paroi sont p´ eriodiques.
On se place en dimension 2. Les coordonn´ ees sont (x 1 ,x 2 ). Le fluide occupe
un domaine, infini vers le haut, du demi plan sup´ erieur x 2 > 0. La paroi
inf´ erieure du domaine n’est pas exactement la droite Γ 0 = {x 2 =0}. Elle n’en
est pas tr` es ´ eloign´ ee, mais c’est une courbe Γ ε pr´ esentant une p´ eriodicit´ e` a
l’´ echelle ε dans le sens x 1 et une “hauteur” ε dans le sens x 2 .O ns er e po r t e r a
` a la Figure 2.6. Le domaine Ω ε occup´ e par le fluide est d´ elimit´ ep a rl ap a r o i
Γ ε vers le bas et est infini vers le haut. On note par ailleurs Ω 0 le demi-plan
x 2 > 0. L’´ ecoulement stationnaire du fluide est suppos´ er ´ egi par l’´ equation de
Stokes
⎧
⎨
⎩
−ν∆u
ε + ∇p
ε = f dans Ω ε
div u
ε = 0 dans Ω ε
u
ε =0s urΓ ε .
(2.70)
La forme des asp´ erit´ es de la paroi est, on l’a dit, p´ eriodique, de sorte que
le domaine Ω ε peut ˆ etre d´ ecoup´ e en une collection de domaines ε × Y accoll´ es
selon Ox 1 . La cellule de p´ eriodicit´ e (au sens des sections pr´ ec´ edentes ) est
donc le domaine Y : infini vers le haut, p´ eriodique de largeur 1 dans le sens
x 1 .
Brutalement, une id´ ee naturelle est de remplacer le domaine Ω ε par le
domaine Ω 0 , ce qui revient `
a supposer que la vitesse du fluide est nulle sur
le bord x 2 = 0 (on parle d’une condition de non glissement sur Γ 0 ), alors
qu’en fait elle est nulle sur la paroi rugueuse Γ ε . La vitesse obtenue par cette
simplification est la solution u
0 de
⎧
⎨
⎩
−ν∆u
0 + ∇p 0 = f dans Ω 0
div u
0 = 0 dans Ω 0
u
0 =0s urΓ 0 .
(2.71)
Pour des raisons d’origine physique que nous ne d´ etaillons pas, mais qui
rendent exactement le probl` eme int´ eressant pour notre ´ etude, nous regardons
le probl` eme dans le r´ egime o` u la viscosit´ e du fluide ν v´ erifie
ν = µε avec µ constante fixe
(2.72)
lorsque ε tend vers z´ ero. Il s’agit donc d’une viscosit´ e “petite”. Une deuxi` eme
hypoth` ese que nous ferons est de supposer que
√
ε
∂u
0
∂x 2
,ε
∂
2 u
0
∂x 2
2
,
√
ε
∂
2 u
0
∂x 1 ∂x 2
sont d’ordre O(1) en tous les points de Γ 0 .
(2.73)