2.5 Questions de couche limite
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au lieu de u
ε (0) = 0. Cela fournit la condition au bord manquante pour la
r´ esolution du probl` eme sur [η ε , 1].
Bien sˆ ur, ceci a le m´ erite de la simplicit´ e, mais pr´ esente deux d´ esavantages :
– la validit´ edud´ eveloppement de Taylor suppose l’existence d’une d´ eriv´ ee
seconde bien r´ eguli` ere de u
ε ,
– on ne peut pas attendre des miracles de cette technique puisqu’on n’utilise rien du probl` eme sur [0,η ε ].
Une technique plus sophistiqu´ ee consiste donc
–` a d’abord r´ esoudre une ´ equation simplifi´ ee sur le segment [0,η ε ]a v e cl a
donn´ ee au bord u
ε (η ε ), de sorte de d´ eterminer en sortie
du
ε
dx
(η ε ), qui
sera donn´ ee (ou approch´ ee) par une formule
du
ε
dx
(η ε )=g
u
ε (η ε )
(2.69)
qui peut ˆ etre en particulier de la forme (2.68) mais pas seulement,
–r ´ esoudre ensuite sur le segment [η ε , 1] avec la condition (2.69) au bord
x = η ε .
Les deux cas ci-dessus recouvrent par exemple les questions de couche
limite pour les ´ ecoulements turbulents. Une formule de type (2.69) s’appelle
alors une loi de paroi.
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Fig. 2.5. Couche limite en 0
+ : il s’agit pour bˆ atir une discr´ etisation efficace de
d´ eplacer le bord du domaine de calcul (ici le bord gauche en 0) pour ´ eliminer la
couche limite ; mais il faut aussi trouver la “nouvelle” condition ` a imposer sur le
“nouveau” bord. On parle de condition ´ equivalente.
Exercice 2.39. Comme exemple simple, consid´ erons en 1D l’´ equation
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−ε
2 d
2
dx 2 u
ε +(1+x
2 )u
ε =0 ,
u
ε (0) = 1,
u
ε −→ 0, quand x −→ +∞
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au lieu de u
ε (0) = 0. Cela fournit la condition au bord manquante pour la
r´ esolution du probl` eme sur [η ε , 1].
Bien sˆ ur, ceci a le m´ erite de la simplicit´ e, mais pr´ esente deux d´ esavantages :
– la validit´ edud´ eveloppement de Taylor suppose l’existence d’une d´ eriv´ ee
seconde bien r´ eguli` ere de u
ε ,
– on ne peut pas attendre des miracles de cette technique puisqu’on n’utilise rien du probl` eme sur [0,η ε ].
Une technique plus sophistiqu´ ee consiste donc
–` a d’abord r´ esoudre une ´ equation simplifi´ ee sur le segment [0,η ε ]a v e cl a
donn´ ee au bord u
ε (η ε ), de sorte de d´ eterminer en sortie
du
ε
dx
(η ε ), qui
sera donn´ ee (ou approch´ ee) par une formule
du
ε
dx
(η ε )=g
u
ε (η ε )
(2.69)
qui peut ˆ etre en particulier de la forme (2.68) mais pas seulement,
–r ´ esoudre ensuite sur le segment [η ε , 1] avec la condition (2.69) au bord
x = η ε .
Les deux cas ci-dessus recouvrent par exemple les questions de couche
limite pour les ´ ecoulements turbulents. Une formule de type (2.69) s’appelle
alors une loi de paroi.
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Fig. 2.5. Couche limite en 0
+ : il s’agit pour bˆ atir une discr´ etisation efficace de
d´ eplacer le bord du domaine de calcul (ici le bord gauche en 0) pour ´ eliminer la
couche limite ; mais il faut aussi trouver la “nouvelle” condition ` a imposer sur le
“nouveau” bord. On parle de condition ´ equivalente.
Exercice 2.39. Comme exemple simple, consid´ erons en 1D l’´ equation
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−ε
2 d
2
dx 2 u
ε +(1+x
2 )u
ε =0 ,
u
ε (0) = 1,
u
ε −→ 0, quand x −→ +∞