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2 Techniques d’homog´ en´ eisation
d et h e r m i q u eo ud em ´ ecanique des fluides. Ainsi, on sait que dans certains
´ ecoulements de fluide, la viscosit´ e du fluide ne joue en fait un rˆ ole que le long
de la paroi (penser aux calculs d’´ epaisseur de couche limite que le lecteur a
peut-ˆ etre d´ ej` a rencontr´ es), alors que partout ailleurs, loin de la paroi, le fluide
s’´ ecoule comme s’il ´ etait parfait, i.e. sans viscosit´ e.
C’est un cas de ce type que nous allons regarder. Mais tout d’abord, donnons un aper¸ cu sur les cas simples.
2.5.1 Deux cas simples
Dans un certain nombre de probl` emes, on s’attend sur le bord du domaine
de calcul ` a l’existence d’une couche limite dans la solution u
ε d’´ epaisseur η ε
li´ ee ` a ε. Toujours pour des raisons d’efficacit´ e, on ne souhaite pas r´ ealiser la
discr´ etisation de l’´ equation avec un pas de discr´ etisation h de l’ordre de ε mais
bien plus grand que ε.G ´ en´ eralement, la couche limite d’´ epaisseur η ε est donc
une petite partie de la premi` ere maille. La r´ esolution aboutira donc sur cette
premi` ere maille ` a une solution discr` ete fausse, et cela peut mˆ eme polluer les
mailles suivantes.
L’id´ ee simple est alors la suivante : ´ eliminer la couche limite du domaine
de calcul pour
– ne pas avoir ` a la mailler finement,
– ne pas avoir d’erreur quand on la maille grossi` erement.
La difficult´ e est bien sˆ ur qu’on dispose d’une condition sur le bord Γ du
domaine physique et qu’il faut donc d´ eterminer une condition ´ equivalente au
bord ˜
Γ de la couche limite (voir Figure 2.5).
Il nous faut donc r´ esoudre d’une mani` ere simplifi´ ee ` a l’int´ erieur de la
couche limite pour trouver la bonne condition `
a mettre au bord ˜
Γ .
Nous raisonnons en dimension 1 pour simplifier, mais tout peut s’adapter sans probl` eme aux dimensions sup´ erieures pour des parois r´ eguli` eres en
´ evoluant selon la normale `
a la paroi. Notre cas d’´ ecole consiste ` ar ´ esoudre
une certaine ´ equation sur le segment [0, 1], pour des conditions aux bords de
Dirichlet u(0) = u(1) = 0. On s’attend `
a une couche limite au voisinage de
0
+ . Le bord gauche du domaine physique est donc le point x =0 ,e tl ebo r d
de la couche limite est le point x = η ε .
La strat´ egie la plus simple consiste ` an er ´ esoudre aucune ´ equation que ce
soit sur la couche limite, mˆ eme pas une ´ equation approch´ ee, mais ` a seulement
utiliser un simple d´ eveloppement de Taylor pour ´ ecrire
u
ε (0) = u
ε (η ε ) − η ε
du
ε
dx
(η ε )+o(η ε ),
et donc imposer
u
ε (η ε ) − η ε
du
ε
dx
(η ε ) = 0
(2.68)
2 Techniques d’homog´ en´ eisation
d et h e r m i q u eo ud em ´ ecanique des fluides. Ainsi, on sait que dans certains
´ ecoulements de fluide, la viscosit´ e du fluide ne joue en fait un rˆ ole que le long
de la paroi (penser aux calculs d’´ epaisseur de couche limite que le lecteur a
peut-ˆ etre d´ ej` a rencontr´ es), alors que partout ailleurs, loin de la paroi, le fluide
s’´ ecoule comme s’il ´ etait parfait, i.e. sans viscosit´ e.
C’est un cas de ce type que nous allons regarder. Mais tout d’abord, donnons un aper¸ cu sur les cas simples.
2.5.1 Deux cas simples
Dans un certain nombre de probl` emes, on s’attend sur le bord du domaine
de calcul ` a l’existence d’une couche limite dans la solution u
ε d’´ epaisseur η ε
li´ ee ` a ε. Toujours pour des raisons d’efficacit´ e, on ne souhaite pas r´ ealiser la
discr´ etisation de l’´ equation avec un pas de discr´ etisation h de l’ordre de ε mais
bien plus grand que ε.G ´ en´ eralement, la couche limite d’´ epaisseur η ε est donc
une petite partie de la premi` ere maille. La r´ esolution aboutira donc sur cette
premi` ere maille ` a une solution discr` ete fausse, et cela peut mˆ eme polluer les
mailles suivantes.
L’id´ ee simple est alors la suivante : ´ eliminer la couche limite du domaine
de calcul pour
– ne pas avoir ` a la mailler finement,
– ne pas avoir d’erreur quand on la maille grossi` erement.
La difficult´ e est bien sˆ ur qu’on dispose d’une condition sur le bord Γ du
domaine physique et qu’il faut donc d´ eterminer une condition ´ equivalente au
bord ˜
Γ de la couche limite (voir Figure 2.5).
Il nous faut donc r´ esoudre d’une mani` ere simplifi´ ee ` a l’int´ erieur de la
couche limite pour trouver la bonne condition `
a mettre au bord ˜
Γ .
Nous raisonnons en dimension 1 pour simplifier, mais tout peut s’adapter sans probl` eme aux dimensions sup´ erieures pour des parois r´ eguli` eres en
´ evoluant selon la normale `
a la paroi. Notre cas d’´ ecole consiste ` ar ´ esoudre
une certaine ´ equation sur le segment [0, 1], pour des conditions aux bords de
Dirichlet u(0) = u(1) = 0. On s’attend `
a une couche limite au voisinage de
0
+ . Le bord gauche du domaine physique est donc le point x =0 ,e tl ebo r d
de la couche limite est le point x = η ε .
La strat´ egie la plus simple consiste ` an er ´ esoudre aucune ´ equation que ce
soit sur la couche limite, mˆ eme pas une ´ equation approch´ ee, mais ` a seulement
utiliser un simple d´ eveloppement de Taylor pour ´ ecrire
u
ε (0) = u
ε (η ε ) − η ε
du
ε
dx
(η ε )+o(η ε ),
et donc imposer
u
ε (η ε ) − η ε
du
ε
dx
(η ε ) = 0
(2.68)