2.5 Questions de couche limite
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d´ ecomposition qui serait rigoureuse si on travaillait sur un domaine infini.
La fonction φ(y, ε, t) apparaˆ ıt alors comme la r´ eponse, ` al ’ ´ echelle ε,` a une
excitation e
itx ` al ’ ´ echelle 1. La solution u
ε est donc vue comme une fonction
u
ε (x)=U
ε (x,
x
ε
), c’est-` a-dire une fonction de la variable x `
a valeurs dans les
fonctions de la variable
x
ε
. A ces deux niveaux, on utilise une base d’´ el´ ements
finis diff´ erente.
En allant une ´ etape plus loin, on peut mˆ eme construire une variante de
cette technique : plutˆ ot que d’ins´ erer directement les φ(y, ε, t) dans l’espace
d’´ el´ ements finis ` al ’ ´ echelle ε, on se souvient seulement de la r´ egularit´ e de ces
fonctions φ(y, ε, t) (elle se d´ etermine par une analyse math´ ematique) et on
choisit un espace d’´ el´ ements finis “classiques”, dont on choisit la forme et le
degr´ e en fonction de ce qui est attendu sur les φ(y, ε, t). L’espace d’´ el´ ements
finis global est alors le produit tensoriel de deux espaces adapt´ es aux ´ echelles
respectives 1 et ε.E to np e u tm ˆ eme, en allant encore plus loin dans l’efficacit´ e, r´ ealiser une tr` es bonne approximation en effectuant un produit tensoriel
“creux” (consistant ` a prendre seulement un sous-espace bien choisi du produit
tensoriel).
Quelle que soit leur d´ eclinaison, toutes ces techniques “avanc´ ees” consistent
p e uo up r o u` a remplacer le probl` eme initial −div A
ε (x)∇u
ε (x)=f , qui est
multi´ echelle mais fonction d’une variable seulement, par un probl` eme variationnel, essentiellement `
a une seule ´ echelle, mais sur plusieurs variables
(d’o` u par exemple un produit tensoriel d’´ el´ ements finis
8 ). On peut donc les
voir comme des techniques pr´ ef´ erant g´ erer conjointement les ´ echelles, que
s´ equentiellement. Progressivement, on s’´ eloigne donc de la m´ ethodologie initiale de ce chapitre, pour se rapprocher de techniques que nous verrons au
Chapitre 4.
Pour en savoir plus sur ces techniques multi´ echelles qui sont actuellement
en pleine ´ evolution, nous conseillons au lecteur de se reporter `
alabibliographie
de ce chapitre, qui servira de point d’entr´ ee dans une litt´ erature beaucoup plus
large.
2.5 Questions de couche limite
Dans les sections pr´ ec´ edentes, nous nous sommes int´ eress´ es au cas o` ul e sp e -
tites ´ echelles intervenaient uniform´ ement sur tout le domaine, ce qui est le
cas pour un coefficient p´ eriodique oscillant vite a(
x
ε
). Il arrive que l’intervention des petites ´ echelles du probl` eme ne soit sensible que le long des parois
du domaine. C’est par exemple le cas des couches limites dans les probl` emes
8 Une autre approche encore consiste ` a introduire une somme d’espace d’´ el´ ements
finis, comme dans les m´ ethodes multi´ echelles reli´ ees ` a la technique d’´ el´ ements-bulles,
voir les travaux de F. Brezzi, D. Marini, E. S¨ uli [17, 22].
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d´ ecomposition qui serait rigoureuse si on travaillait sur un domaine infini.
La fonction φ(y, ε, t) apparaˆ ıt alors comme la r´ eponse, ` al ’ ´ echelle ε,` a une
excitation e
itx ` al ’ ´ echelle 1. La solution u
ε est donc vue comme une fonction
u
ε (x)=U
ε (x,
x
ε
), c’est-` a-dire une fonction de la variable x `
a valeurs dans les
fonctions de la variable
x
ε
. A ces deux niveaux, on utilise une base d’´ el´ ements
finis diff´ erente.
En allant une ´ etape plus loin, on peut mˆ eme construire une variante de
cette technique : plutˆ ot que d’ins´ erer directement les φ(y, ε, t) dans l’espace
d’´ el´ ements finis ` al ’ ´ echelle ε, on se souvient seulement de la r´ egularit´ e de ces
fonctions φ(y, ε, t) (elle se d´ etermine par une analyse math´ ematique) et on
choisit un espace d’´ el´ ements finis “classiques”, dont on choisit la forme et le
degr´ e en fonction de ce qui est attendu sur les φ(y, ε, t). L’espace d’´ el´ ements
finis global est alors le produit tensoriel de deux espaces adapt´ es aux ´ echelles
respectives 1 et ε.E to np e u tm ˆ eme, en allant encore plus loin dans l’efficacit´ e, r´ ealiser une tr` es bonne approximation en effectuant un produit tensoriel
“creux” (consistant ` a prendre seulement un sous-espace bien choisi du produit
tensoriel).
Quelle que soit leur d´ eclinaison, toutes ces techniques “avanc´ ees” consistent
p e uo up r o u` a remplacer le probl` eme initial −div A
ε (x)∇u
ε (x)=f , qui est
multi´ echelle mais fonction d’une variable seulement, par un probl` eme variationnel, essentiellement `
a une seule ´ echelle, mais sur plusieurs variables
(d’o` u par exemple un produit tensoriel d’´ el´ ements finis
8 ). On peut donc les
voir comme des techniques pr´ ef´ erant g´ erer conjointement les ´ echelles, que
s´ equentiellement. Progressivement, on s’´ eloigne donc de la m´ ethodologie initiale de ce chapitre, pour se rapprocher de techniques que nous verrons au
Chapitre 4.
Pour en savoir plus sur ces techniques multi´ echelles qui sont actuellement
en pleine ´ evolution, nous conseillons au lecteur de se reporter `
alabibliographie
de ce chapitre, qui servira de point d’entr´ ee dans une litt´ erature beaucoup plus
large.
2.5 Questions de couche limite
Dans les sections pr´ ec´ edentes, nous nous sommes int´ eress´ es au cas o` ul e sp e -
tites ´ echelles intervenaient uniform´ ement sur tout le domaine, ce qui est le
cas pour un coefficient p´ eriodique oscillant vite a(
x
ε
). Il arrive que l’intervention des petites ´ echelles du probl` eme ne soit sensible que le long des parois
du domaine. C’est par exemple le cas des couches limites dans les probl` emes
8 Une autre approche encore consiste ` a introduire une somme d’espace d’´ el´ ements
finis, comme dans les m´ ethodes multi´ echelles reli´ ees ` a la technique d’´ el´ ements-bulles,
voir les travaux de F. Brezzi, D. Marini, E. S¨ uli [17, 22].