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2 Techniques d’homog´ en´ eisation
´ el´ ements finis qui vont jouer en fait le rˆ ole des fonctions w i (
·
ε
) de la section
pr´ ec´ edente.
Bri` evement dit, une des techniques consiste ` a mailler le domaine selon des
mailles grossi` eres (i.e. ` al’ ´ echelle 1, par exemple en dimension 2 par des carr´ es
(de sommets not´ es x j ) ce qui est bien adapt´ e` a la cellule de p´ eriodicit´ e Y =
[0, 1]
2 ), et consid´ erer comme espace d’´ el´ ements finis un espace de fonctions
qui sont somme de deux types de fonctions : d’une part, les fonctions Q1
habituelles (not´ ees ψ i et v´ erifiant ψ i (x j )=δ ij ) et d’autre part des fonctions
tests qui oscillent ` al ’ ´ echelle ε. Par exemple, on peut d´ eterminer les fonctions
η
ε
i solutions de
−div (A(
x
ε ) ·∇(η
i
ε + ψ
i )) = 0, dans la maille de taille 1,
η
i
ε =0 , au bord de la maille,
puis poser ϕ
i
ε = η
i
ε + ψ
i , qui est alors solution de
⎧
⎨
⎩
−div (A(
x
ε ) ·∇ϕ
i
ε )=0 ,
dans la maille de taille 1
ϕ
i
ε (x j )=δ ij ,
en les sommets x j , du carr´ e
ϕ
i
ε
est continu `
a travers le changement de maille,
et utiliser la base des ϕ
i
ε comme base d’´ el´ ements finis. Cette base contient
des oscillations ` a l’ordre ε,` a cause de la pr´ esence des η
i
ε ( ce sont elles qui
jouent en fait, pour ε =0,lerˆ ole des fonctions w i (
·
ε
) de la section pr´ ec´ edente,
avec cet avantage suppl´ ementaire qu’elles v´ erifient les bonnes conditions aux
bords).
La r´ esolution num´ erique du probl` eme original se pr´ esente alors encore en
deux ´ etapes : un pr´ ecalcul o` uon´ evalue les ϕ
i
ε sur chaque maille, puis un calcul
sur le maillage `
al ’ ´ echelle 1 de la solution u
ε de l’´ equation d´ evelopp´ ee sur les
ϕ
i
ε .
U n ea l t e r n a t i v e ,d a n sl em ˆ eme esprit mais avec une r´ ealisation pratique
un peu diff´ erente, est de consid´ erer des fonctions de base ` al’ ´ echelle ε qui sont
p´ eriodiques.
Plus pr´ ecis´ ement, on d´ efinit la solution φ(y, ε, t)d e
−e
−iεty div y (A(y) ·∇ y (e
iεty φ(y, ε, t))) = ε
2 , sur la maille p´ eriodique Y,
φ(y, ε, t)p ´ eriodique au bord.
En ´ echantillonnant φ(y, ε, t)p o u rd i ff ´ erents t = t j , on construit une famille
d’´ el´ ements finis φ(y, ε, t j )` al ’ ´ echelle fine. Ensuite, en faisant le produit tensoriel de cette famille par une famille d’´ el´ ements finis ` al ’ ´ echelle 1, on construit
une base globale, dans laquelle on approchera u
ε . Une telle strat´ egie peut
s’interpr´ eter comme issue de la d´ ecomposition par transform´ ee de Fourier
u
ε (x)=
1
(2π) n/3
t∈I R n
ˆ
f (t) e
itx φ(
x
ε
,ε,t) dt,
(2.67)
2 Techniques d’homog´ en´ eisation
´ el´ ements finis qui vont jouer en fait le rˆ ole des fonctions w i (
·
ε
) de la section
pr´ ec´ edente.
Bri` evement dit, une des techniques consiste ` a mailler le domaine selon des
mailles grossi` eres (i.e. ` al’ ´ echelle 1, par exemple en dimension 2 par des carr´ es
(de sommets not´ es x j ) ce qui est bien adapt´ e` a la cellule de p´ eriodicit´ e Y =
[0, 1]
2 ), et consid´ erer comme espace d’´ el´ ements finis un espace de fonctions
qui sont somme de deux types de fonctions : d’une part, les fonctions Q1
habituelles (not´ ees ψ i et v´ erifiant ψ i (x j )=δ ij ) et d’autre part des fonctions
tests qui oscillent ` al ’ ´ echelle ε. Par exemple, on peut d´ eterminer les fonctions
η
ε
i solutions de
−div (A(
x
ε ) ·∇(η
i
ε + ψ
i )) = 0, dans la maille de taille 1,
η
i
ε =0 , au bord de la maille,
puis poser ϕ
i
ε = η
i
ε + ψ
i , qui est alors solution de
⎧
⎨
⎩
−div (A(
x
ε ) ·∇ϕ
i
ε )=0 ,
dans la maille de taille 1
ϕ
i
ε (x j )=δ ij ,
en les sommets x j , du carr´ e
ϕ
i
ε
est continu `
a travers le changement de maille,
et utiliser la base des ϕ
i
ε comme base d’´ el´ ements finis. Cette base contient
des oscillations ` a l’ordre ε,` a cause de la pr´ esence des η
i
ε ( ce sont elles qui
jouent en fait, pour ε =0,lerˆ ole des fonctions w i (
·
ε
) de la section pr´ ec´ edente,
avec cet avantage suppl´ ementaire qu’elles v´ erifient les bonnes conditions aux
bords).
La r´ esolution num´ erique du probl` eme original se pr´ esente alors encore en
deux ´ etapes : un pr´ ecalcul o` uon´ evalue les ϕ
i
ε sur chaque maille, puis un calcul
sur le maillage `
al ’ ´ echelle 1 de la solution u
ε de l’´ equation d´ evelopp´ ee sur les
ϕ
i
ε .
U n ea l t e r n a t i v e ,d a n sl em ˆ eme esprit mais avec une r´ ealisation pratique
un peu diff´ erente, est de consid´ erer des fonctions de base ` al’ ´ echelle ε qui sont
p´ eriodiques.
Plus pr´ ecis´ ement, on d´ efinit la solution φ(y, ε, t)d e
−e
−iεty div y (A(y) ·∇ y (e
iεty φ(y, ε, t))) = ε
2 , sur la maille p´ eriodique Y,
φ(y, ε, t)p ´ eriodique au bord.
En ´ echantillonnant φ(y, ε, t)p o u rd i ff ´ erents t = t j , on construit une famille
d’´ el´ ements finis φ(y, ε, t j )` al ’ ´ echelle fine. Ensuite, en faisant le produit tensoriel de cette famille par une famille d’´ el´ ements finis ` al ’ ´ echelle 1, on construit
une base globale, dans laquelle on approchera u
ε . Une telle strat´ egie peut
s’interpr´ eter comme issue de la d´ ecomposition par transform´ ee de Fourier
u
ε (x)=
1
(2π) n/3
t∈I R n
ˆ
f (t) e
itx φ(
x
ε
,ε,t) dt,
(2.67)