2.4 A lire en 2 ` eme lecture : Vers des m´ ethodes multi´ echelles avanc´ ees
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goureusement le d´ eveloppement complet, c’est-` a-dire comprendre pr´ ecis´ ement
le comportement de u
ε quand il tend vers u 0 , en calculant les correcteurs ` a
tout ordre. Dans certains cas (comme le cas p´ eriodique), ces correcteurs sont
explicites (quoique pas gratuits !), mais dans beaucoup de cas ils ne le sont pas,
et les d´ eterminer peut s’av´ erer dans la pratique aussi difficile que de r´ esoudre
le probl` eme initial. Il y a donc de la place pour des strat´ egies alternatives :
on peut imaginer que passer `
a la limite ε −→ 0 n’est pas la seule strat´ egie
num´ erique. Certaines techniques (tout `
a fait dans l’esprit de celles de la Section 1.3) consistent `
ag ´ erer explicitement l’´ echelle ε conjointement `
al ’ ´ echelle
1 (i.e. l’´ echelle macroscopique).
L’id´ ee est de s’inspirer du d´ eveloppement (2.27), sous sa forme
u
ε (x)=u 0 (x)+ε
N
i=1
∂u 0
∂x i
(x)w i (
x
ε
).
Certes ce d´ eveloppement n’est pas toujours correct en th´ eorie, mais il
sugg` ere malgr´ e tout de rechercher
7 ,p o u rε fix´ e non nul, une approximation
num´ erique de la solution u
ε comme superposition (et/ou produits) de fonctions oscillant ` al ’ ´ echelle 1 et ` al ’ ´ echelle ε. L’objectif est alors clair : il faut,
d’une mani` ere ou d’une autre, ins´ erer dans l’espace d’´ el´ ements finis consid´ er´ es
` a la fois des fonctions qui oscillent `
al ’ ´ echelle 1 et des fonctions qui oscillent
` al ’ ´ echelle ε, pour avoir une chance de bien repr´ esenter la fonction u
ε ,q u i
pr´ esente les deux comportements.
Remarque 2.38. La d´ emarche que nous employons, consistant ` a nous inspirer
d’un d´ eveloppement th´ eorique, non n´ ecessairement rigoureux en th´ eorie, pour
en d´ eduire une strat´ egie d’approximation num´ erique, qui elle sera rigoureuse,
est tr` es courante en analyse num´ erique.
Si on utilise des fonctions oscillantes `
al’´ echelle ε g´ en´ eriques,ilyatoutesles
chances qu’il en faille un nombre ´ enorm´ ement grand, et on est alors ramen´ e` a
la difficult´ ementionn´ ee au d´ ebut de chapitre : on se retrouve avec par exemple
une base d’´ el´ ements finis de taille ε, ce qui est pr´ ecis´ ement ce qu’on voulait
´ eviter.
Si au contraire on particularise trop, et qu’on incorpore l’asymptotique
de u
ε explicitement dans l’espace d’´ el´ ements finis, cela revient au cas de la
section pr´ ec´ edente, o` u l’on calcule u
ε sous la forme u 0 (·)+εu 1 (·,
·
ε
)o `
u u 0 et
u 1 sont d´ efinies par le probl` eme homog´ en´ eis´ ee tl ep r o b l ` eme p´ eriodique.
Une id´ ee naturelle est alors de rechercher un compromis entre les deux
strat´ egies extrˆ emes ci-dessus. Il existe diff´ erentes fa¸ cons de mettre en oeuvre
cette id´ ee.
En premier lieu, on peut vouloir incorporer l’information `
al’ ´ echelle ε dans
les fonctions de base ´ el´ ements finis elle-mˆ eme. Pour cel` a, on consid` ere des
7 et ce mˆ eme hors du cadre p´ eriodique de la Section pr´ ec´ edente
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goureusement le d´ eveloppement complet, c’est-` a-dire comprendre pr´ ecis´ ement
le comportement de u
ε quand il tend vers u 0 , en calculant les correcteurs ` a
tout ordre. Dans certains cas (comme le cas p´ eriodique), ces correcteurs sont
explicites (quoique pas gratuits !), mais dans beaucoup de cas ils ne le sont pas,
et les d´ eterminer peut s’av´ erer dans la pratique aussi difficile que de r´ esoudre
le probl` eme initial. Il y a donc de la place pour des strat´ egies alternatives :
on peut imaginer que passer `
a la limite ε −→ 0 n’est pas la seule strat´ egie
num´ erique. Certaines techniques (tout `
a fait dans l’esprit de celles de la Section 1.3) consistent `
ag ´ erer explicitement l’´ echelle ε conjointement `
al ’ ´ echelle
1 (i.e. l’´ echelle macroscopique).
L’id´ ee est de s’inspirer du d´ eveloppement (2.27), sous sa forme
u
ε (x)=u 0 (x)+ε
N
i=1
∂u 0
∂x i
(x)w i (
x
ε
).
Certes ce d´ eveloppement n’est pas toujours correct en th´ eorie, mais il
sugg` ere malgr´ e tout de rechercher
7 ,p o u rε fix´ e non nul, une approximation
num´ erique de la solution u
ε comme superposition (et/ou produits) de fonctions oscillant ` al ’ ´ echelle 1 et ` al ’ ´ echelle ε. L’objectif est alors clair : il faut,
d’une mani` ere ou d’une autre, ins´ erer dans l’espace d’´ el´ ements finis consid´ er´ es
` a la fois des fonctions qui oscillent `
al ’ ´ echelle 1 et des fonctions qui oscillent
` al ’ ´ echelle ε, pour avoir une chance de bien repr´ esenter la fonction u
ε ,q u i
pr´ esente les deux comportements.
Remarque 2.38. La d´ emarche que nous employons, consistant ` a nous inspirer
d’un d´ eveloppement th´ eorique, non n´ ecessairement rigoureux en th´ eorie, pour
en d´ eduire une strat´ egie d’approximation num´ erique, qui elle sera rigoureuse,
est tr` es courante en analyse num´ erique.
Si on utilise des fonctions oscillantes `
al’´ echelle ε g´ en´ eriques,ilyatoutesles
chances qu’il en faille un nombre ´ enorm´ ement grand, et on est alors ramen´ e` a
la difficult´ ementionn´ ee au d´ ebut de chapitre : on se retrouve avec par exemple
une base d’´ el´ ements finis de taille ε, ce qui est pr´ ecis´ ement ce qu’on voulait
´ eviter.
Si au contraire on particularise trop, et qu’on incorpore l’asymptotique
de u
ε explicitement dans l’espace d’´ el´ ements finis, cela revient au cas de la
section pr´ ec´ edente, o` u l’on calcule u
ε sous la forme u 0 (·)+εu 1 (·,
·
ε
)o `
u u 0 et
u 1 sont d´ efinies par le probl` eme homog´ en´ eis´ ee tl ep r o b l ` eme p´ eriodique.
Une id´ ee naturelle est alors de rechercher un compromis entre les deux
strat´ egies extrˆ emes ci-dessus. Il existe diff´ erentes fa¸ cons de mettre en oeuvre
cette id´ ee.
En premier lieu, on peut vouloir incorporer l’information `
al’ ´ echelle ε dans
les fonctions de base ´ el´ ements finis elle-mˆ eme. Pour cel` a, on consid` ere des
7 et ce mˆ eme hors du cadre p´ eriodique de la Section pr´ ec´ edente