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2 Techniques d’homog´ en´ eisation
u
u ε
*
u ’
ε
u * ’
Fig. 2.4. A gauche, la limite u
⋆ donne le comportement moyen de u
ε qui pr´ esente
des oscillations d’amplitude ε `
al ’ ´ echelle ε. Pourtant, ` a droite, sa d´ eriv´ ee (u
⋆ )
′ est
une tr` es mauvaise approximation de la d´ eriv´ ee (u
ε )
′ (qui oscille avec une amplitude
unit´ e). u
⋆ est peut-ˆ etre la limite faible dans H
1 de u
ε , mais certainement pas la
limite forte.
2.4 A lire en 2 ` eme lecture : Vers des m´ ethodes
multi´ echelles avanc´ ees
Les difficult´ es soulev´ ees ci-dessus soul` event en fait la difficult´ ep l u sg ´ en´ erale
du calcul du comportement de u
ε “` a tout ordre” c’est-` a-dire pour ε petit
mais non nul. Il est en effet clair que le passage ` a la limite que nous avons effectu´ eenrempla¸ cant ε par z´ ero peut ˆ etre un peu troublant. Dans un probl` eme
donn´ e, ε vaut par exemple 10
−5 et pas z´ ero ! Evidemment, on peut, suivant la
technologie d´ evelopp´ ee ` a la section pr´ ec´ edente, se dire que l’on va calculer ri-