2.3 Des cas plus compliqu´ es : la convergence ` ad e u x´ echelles
69
` a construire “explicitement” les correcteurs en les d´ efinissant comme les solutions d’un probl` eme du type
−div A
ε
e i + ∇z
ε
′
i
=0,
(2.65)
avec z
ε
i ∈ H
1
0 (Ω), puis `
av´ erifier que de tels z
ε
i tendent effectivement faiblement
vers 0 dans H
1 (Ω).
En fait, les correcteurs permettent mieux que simplement corriger la
convergence, car ils permettent aussi d’obtenir une expression de la matrice
homog´ en´ eis´ ee et donc de d´ eterminer u
⋆ . C’est l’objet du
Corollaire 2.32. Toujours sous les conditions de la Proposition 2.12, la matrice homog´ en´ eis´ ee A
⋆ s’exprime par
A
⋆ =
lim
faible dans (L 2 (Ω)) N ×N
A
ε
′
Id + ∇z
ε
′
.
(2.66)
Remarque 2.33. La convergence (2.64) est bien sˆ ur la g´ en´ eralisation de (2.60),
laquelle est bas´ ee sur (2.58).
Remarque 2.34. De mˆ eme, (2.66) g´ en´ eralise (2.50) et aussi (2.39)-(2.39).
A ce stade, nous savons donc que grˆ ace ` al ar ´ esolution pr´ ealable des N
probl` emes du type (2.65), nous obtiendrons, pour chaque fonction f une bonne
approximation de u
ε par la seule r´ esolution du probl` eme homog´ en´ eis´ e. Ceci
est tout `
a fait la situation constat´ ee pour la convergence ` ad e u x´ echelles.
Pour autant, il ne faut pas sombrer dans l’euphorie. En fait, l’expression
(2.66) n’est pas vraiment explicite, car calculer cette limite n’est pas simple :
il y a un produit de fonctions au membre de droite. Dans le cas p´ eriodique, la
convergence ` adeux´ echelles pour le cas p´ eriodique rend cette formule vraiment
explicite et ind´ ependante de l’extraction. C’est ce que nous avons vu plus haut.
On obtient d’un seul coup le correcteur et la matrice homog´ en´ eis´ ee. En toute
g´ en´ eralit´ e, tout reste ` af a i r e!
Remarque 2.35. Pour ˆ etre rigoureux, nous devrions pr´ eciser que l’expression
(2.66) est bien une d´ efinition au sens o` ulav aleurned ´ epend pas du correcteur
choisi, c’est-` a-dire que quelles que soient les fonctions z i remplissant les conditions de la Proposition 2.31 le r´ esultat sera le mˆ eme. C’est en fait le cas, nous
l’admettons en toute g´ en´ eralit´ e, et l’exercice ci-dessous ´ eclaircira la situation
sur le cas de la dimension 1.
Exercice 2.36. Sur le cas de la dimension 1, montrer que (2.66) est bien une
d´ efinition l´ egitime.
Exercice 2.37. Reprendre le cas de la convergence ` ad e u x´ echelles sur le
cas p´ eriodique de la Section 2.3.1 largement explor´ e ci-dessus : contruire des
correcteurs, et montrer que l’expression (2.66) co¨ ıncide bien avec l’expression
(2.40).
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` a construire “explicitement” les correcteurs en les d´ efinissant comme les solutions d’un probl` eme du type
−div A
ε
e i + ∇z
ε
′
i
=0,
(2.65)
avec z
ε
i ∈ H
1
0 (Ω), puis `
av´ erifier que de tels z
ε
i tendent effectivement faiblement
vers 0 dans H
1 (Ω).
En fait, les correcteurs permettent mieux que simplement corriger la
convergence, car ils permettent aussi d’obtenir une expression de la matrice
homog´ en´ eis´ ee et donc de d´ eterminer u
⋆ . C’est l’objet du
Corollaire 2.32. Toujours sous les conditions de la Proposition 2.12, la matrice homog´ en´ eis´ ee A
⋆ s’exprime par
A
⋆ =
lim
faible dans (L 2 (Ω)) N ×N
A
ε
′
Id + ∇z
ε
′
.
(2.66)
Remarque 2.33. La convergence (2.64) est bien sˆ ur la g´ en´ eralisation de (2.60),
laquelle est bas´ ee sur (2.58).
Remarque 2.34. De mˆ eme, (2.66) g´ en´ eralise (2.50) et aussi (2.39)-(2.39).
A ce stade, nous savons donc que grˆ ace ` al ar ´ esolution pr´ ealable des N
probl` emes du type (2.65), nous obtiendrons, pour chaque fonction f une bonne
approximation de u
ε par la seule r´ esolution du probl` eme homog´ en´ eis´ e. Ceci
est tout `
a fait la situation constat´ ee pour la convergence ` ad e u x´ echelles.
Pour autant, il ne faut pas sombrer dans l’euphorie. En fait, l’expression
(2.66) n’est pas vraiment explicite, car calculer cette limite n’est pas simple :
il y a un produit de fonctions au membre de droite. Dans le cas p´ eriodique, la
convergence ` adeux´ echelles pour le cas p´ eriodique rend cette formule vraiment
explicite et ind´ ependante de l’extraction. C’est ce que nous avons vu plus haut.
On obtient d’un seul coup le correcteur et la matrice homog´ en´ eis´ ee. En toute
g´ en´ eralit´ e, tout reste ` af a i r e!
Remarque 2.35. Pour ˆ etre rigoureux, nous devrions pr´ eciser que l’expression
(2.66) est bien une d´ efinition au sens o` ulav aleurned ´ epend pas du correcteur
choisi, c’est-` a-dire que quelles que soient les fonctions z i remplissant les conditions de la Proposition 2.31 le r´ esultat sera le mˆ eme. C’est en fait le cas, nous
l’admettons en toute g´ en´ eralit´ e, et l’exercice ci-dessous ´ eclaircira la situation
sur le cas de la dimension 1.
Exercice 2.36. Sur le cas de la dimension 1, montrer que (2.66) est bien une
d´ efinition l´ egitime.
Exercice 2.37. Reprendre le cas de la convergence ` ad e u x´ echelles sur le
cas p´ eriodique de la Section 2.3.1 largement explor´ e ci-dessus : contruire des
correcteurs, et montrer que l’expression (2.66) co¨ ıncide bien avec l’expression
(2.40).