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2 Techniques d’homog´ en´ eisation
est certes v´ erifi´ ee par u 0 , mais pas par u 1 (voir la formule (2.35)), et donc pas
par u 0 (·)+εu 1 (·,
·
ε
). Ainsi, en dimension 1, nous avons vu que la condition
au bord n’´ etait en g´ en´ eral v´ erifi´ ee qu’` a l’ordre O(ε). Il s’ensuit notamment
(une preuve pr´ ecise peut ˆ etre faite) que la vitesse en ε pour la convergence
dans H
1 de la fonction u
ε − u 0 (·) − εu 1 (·,
·
ε
) vers 0 n’est pas forc´ ement celle
attendue
6 . Rappelons en effet que, par exemple, `
a cause des propri´ et´ es de
l’application Trace,l an o r m eH
1 (Ω) sur le domaine majore (` a constante multiplicative pr` es) la norme L
2 (∂Ω), et donc si la convergence au bord n’est pas
bonne, la convergence de la d´ eriv´ ee sur tout le domaine ne peut pas l’ˆ etre non
plus. Un terme parasite dˆ u aux conditions aux limites apparaˆ ıt ainsi dans le
d´ eveloppement limit´ e (2.27), qu’il faut ainsi corriger. Aux ordres sup´ erieurs,
on anticipe de fa¸ con analogue des difficult´ es certaines pour montrer la validit´ e
du d´ eveloppement (et il arrive effectivement qu’il soit faux).
Quoi qu’il en soit, la convergence `
ad e u x´ echelles d´ evelopp´ ee ci-dessus est
un moyen explicite de rendre forte une convergence faible H
1 , celle de u
ε vers
u 0 . De ce point de vue, il s’agit d’un cas particulier d’un r´ esultat g´ en´ eral
que nous citons maintenant, et qui, comme annonc´ e, prolonge et compl` ete les
r´ esultats de la Proposition 2.12. Dans cette derni` ere, la convergence H
1 de
u
ε
′ vers u
⋆ est faible (voir Figure 2.4), et donc on n’a pas convergence forte
des d´ eriv´ ees, en particulier dans L
1 et donc presque partout. Pour am´ eliorer
la situation, il faut adjoindre des termes correctifs `
a u
⋆ , comme nous l’avons
fait en adjoignant εu 1 ` a u 0 dans le d´ eveloppement ` ad e u x´ echelles.
Proposition 2.31. dite Th´ eor` eme des correcteurs Nous nous pla¸ cons
dans les conditions de la Proposition 2.12. Alors il existe N suites de fonctions
z
ε
′
i dans H
1 (Ω) v´ erifiant
z
ε
′
i
ε
′ −→ 0
⇀ 0, faiblement dans H
1 (Ω),
(2.62)
et
−div A
ε
′
e i + ∇z
ε
′
i
ε
′ −→ 0
−→ 0, fortement dans H
−1 (Ω),
(2.63)
telles que
∇u
ε
′ −
Id + ∇z
ε
′
∇u
⋆ ε
′ −→ 0
−→ 0, fortement dans (L
1 (Ω))
N .
(2.64)
Les fonctions z i sont dites les correcteurs,a us e n so `
u, grˆ ace ` al e u rp r ´ esence,
la formule (2.64) permet d’obtenir la convergence forte de la d´ eriv´ ee de u
ε
′
vers celle de u
⋆ .
Nous ne d´ emontrerons pas la Proposition ci-dessus, et renvoyons une fois
de plus `
a la bibliographie. Disons cependant que le d´ ebut de la preuve consiste
6 Typiquement, on peut obtenir un ordre O(
√
ε).
2 Techniques d’homog´ en´ eisation
est certes v´ erifi´ ee par u 0 , mais pas par u 1 (voir la formule (2.35)), et donc pas
par u 0 (·)+εu 1 (·,
·
ε
). Ainsi, en dimension 1, nous avons vu que la condition
au bord n’´ etait en g´ en´ eral v´ erifi´ ee qu’` a l’ordre O(ε). Il s’ensuit notamment
(une preuve pr´ ecise peut ˆ etre faite) que la vitesse en ε pour la convergence
dans H
1 de la fonction u
ε − u 0 (·) − εu 1 (·,
·
ε
) vers 0 n’est pas forc´ ement celle
attendue
6 . Rappelons en effet que, par exemple, `
a cause des propri´ et´ es de
l’application Trace,l an o r m eH
1 (Ω) sur le domaine majore (` a constante multiplicative pr` es) la norme L
2 (∂Ω), et donc si la convergence au bord n’est pas
bonne, la convergence de la d´ eriv´ ee sur tout le domaine ne peut pas l’ˆ etre non
plus. Un terme parasite dˆ u aux conditions aux limites apparaˆ ıt ainsi dans le
d´ eveloppement limit´ e (2.27), qu’il faut ainsi corriger. Aux ordres sup´ erieurs,
on anticipe de fa¸ con analogue des difficult´ es certaines pour montrer la validit´ e
du d´ eveloppement (et il arrive effectivement qu’il soit faux).
Quoi qu’il en soit, la convergence `
ad e u x´ echelles d´ evelopp´ ee ci-dessus est
un moyen explicite de rendre forte une convergence faible H
1 , celle de u
ε vers
u 0 . De ce point de vue, il s’agit d’un cas particulier d’un r´ esultat g´ en´ eral
que nous citons maintenant, et qui, comme annonc´ e, prolonge et compl` ete les
r´ esultats de la Proposition 2.12. Dans cette derni` ere, la convergence H
1 de
u
ε
′ vers u
⋆ est faible (voir Figure 2.4), et donc on n’a pas convergence forte
des d´ eriv´ ees, en particulier dans L
1 et donc presque partout. Pour am´ eliorer
la situation, il faut adjoindre des termes correctifs `
a u
⋆ , comme nous l’avons
fait en adjoignant εu 1 ` a u 0 dans le d´ eveloppement ` ad e u x´ echelles.
Proposition 2.31. dite Th´ eor` eme des correcteurs Nous nous pla¸ cons
dans les conditions de la Proposition 2.12. Alors il existe N suites de fonctions
z
ε
′
i dans H
1 (Ω) v´ erifiant
z
ε
′
i
ε
′ −→ 0
⇀ 0, faiblement dans H
1 (Ω),
(2.62)
et
−div A
ε
′
e i + ∇z
ε
′
i
ε
′ −→ 0
−→ 0, fortement dans H
−1 (Ω),
(2.63)
telles que
∇u
ε
′ −
Id + ∇z
ε
′
∇u
⋆ ε
′ −→ 0
−→ 0, fortement dans (L
1 (Ω))
N .
(2.64)
Les fonctions z i sont dites les correcteurs,a us e n so `
u, grˆ ace ` al e u rp r ´ esence,
la formule (2.64) permet d’obtenir la convergence forte de la d´ eriv´ ee de u
ε
′
vers celle de u
⋆ .
Nous ne d´ emontrerons pas la Proposition ci-dessus, et renvoyons une fois
de plus `
a la bibliographie. Disons cependant que le d´ ebut de la preuve consiste
6 Typiquement, on peut obtenir un ordre O(
√
ε).