2.3 Des cas plus compliqu´ es : la convergence ` ad e u x´ echelles
67
Terminons cette section en signalant un point jusqu’ici pass´ es o u ss i l e n c e .
La fonction u 0 (x)+εu
′
0 (x)w(
x
ε ) approche bien u
ε ,m a i sn ev ´ erifie en fait
pas la condition au bord de nullit´ e en 0 et 1. Ici on peut encore faire le calcul
et obtenir d’une part exactement
u 0 (0) + εu
′
0 (0)w(
0
ε
)=0
et d’autre part
u 0 (1) + εu
′
0 (1)w(
1
ε
)=0−
1
0
tf (t) dt
− <
1
a
> +ε
1
ε
0
1
a
,
qui n’est pas exactement z´ ero en g´ en´ eral mais est un O(ε) (encore par le mˆ eme
raisonnement que ci-dessus).
Exercice 2.29. L’objet de l’exercice est de montrer la convergence forte de
u
ε (x) − (u 0 (x)+εu
′
0 (x)w(
x
ε )) vers 0 dans L
2 par une autre m´ ethode que la
m´ ethode ci-dessus. Nous nous pla¸ cons au stade o` u nous savons que (u
ε (x))
′ −
(u 0 (x)+εu
′
0 (x)w(
x
ε ))
′ converge fortement dans L
2 vers 0, et ce comme un O(ε).
En int´ egrant alors cette fonction, et en utilisant notamment la remarque sur
les conditions aux bords ci-dessus, conclure.
Exercice 2.30. Montrer que si on avait une convergence o(ε) pour la norme
H
1 alors la condition au bord devrait au moins ˆ etre v´ erifi´ ee ` a l’ordre o(ε)pr` es.
V´ erifier que ce n’est pas le cas en g´ en´ eral.
2.3.4 Retour sur le cadre g´ en´ eral
Dans la section 2.3.1, nous avons seulement travaill´ e par conditions n´ ecessaires, de mani` ere formelle, sans nous pr´ eoccuper de notre bon droit quand
nous utilisions des d´ eriv´ ees. Nous avons montr´ eq u es iu
ε admet un d´ eveloppement limit´ e du type (2.27) alors les premiers termes sont n´ ecessairement
donn´ es par les u 0 et u 1 d´ etermin´ es ci-dessus. Dans le cadre monodimensionnel,
nous avons pu fournir la preuve, mais en toute g´ en´ eralit´ e, il reste ` a fonder ceci
math´ ematiquement. Nous ne sommes malheureusement pas en mesure de faire
ceci ici, pr´ ef´ erant nous consacrer `
a d’autres aspects. En fait, sous de bonnes
conditions sur les donn´ ees, on peut montrer que le d´ eveloppement (2.27) est
l´ egitime, au sens o` u u
ε − u 0 (·) − εu 1 (·,
·
ε
) tend effectivement fortement vers
0d a n sH
1 .
Cependant, d` es l’ordre 1 en ε,e ta fortiori pour les ordres suivants, la
situation n’est pas simple, notamment car des couches limites aux bords du
domaine rentrent en jeu. Ceci peut d´ ej` a se comprendre de la fa¸ con suivante.
Comme indiqu´ ee nfi nd eS e c t i o np r ´ ec´ edente, un point est pass´ e relativement
inaper¸ cu dans notre analyse de la section 2.3.1 : la condition au bord u
ε =0
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Terminons cette section en signalant un point jusqu’ici pass´ es o u ss i l e n c e .
La fonction u 0 (x)+εu
′
0 (x)w(
x
ε ) approche bien u
ε ,m a i sn ev ´ erifie en fait
pas la condition au bord de nullit´ e en 0 et 1. Ici on peut encore faire le calcul
et obtenir d’une part exactement
u 0 (0) + εu
′
0 (0)w(
0
ε
)=0
et d’autre part
u 0 (1) + εu
′
0 (1)w(
1
ε
)=0−
1
0
tf (t) dt
− <
1
a
> +ε
1
ε
0
1
a
,
qui n’est pas exactement z´ ero en g´ en´ eral mais est un O(ε) (encore par le mˆ eme
raisonnement que ci-dessus).
Exercice 2.29. L’objet de l’exercice est de montrer la convergence forte de
u
ε (x) − (u 0 (x)+εu
′
0 (x)w(
x
ε )) vers 0 dans L
2 par une autre m´ ethode que la
m´ ethode ci-dessus. Nous nous pla¸ cons au stade o` u nous savons que (u
ε (x))
′ −
(u 0 (x)+εu
′
0 (x)w(
x
ε ))
′ converge fortement dans L
2 vers 0, et ce comme un O(ε).
En int´ egrant alors cette fonction, et en utilisant notamment la remarque sur
les conditions aux bords ci-dessus, conclure.
Exercice 2.30. Montrer que si on avait une convergence o(ε) pour la norme
H
1 alors la condition au bord devrait au moins ˆ etre v´ erifi´ ee ` a l’ordre o(ε)pr` es.
V´ erifier que ce n’est pas le cas en g´ en´ eral.
2.3.4 Retour sur le cadre g´ en´ eral
Dans la section 2.3.1, nous avons seulement travaill´ e par conditions n´ ecessaires, de mani` ere formelle, sans nous pr´ eoccuper de notre bon droit quand
nous utilisions des d´ eriv´ ees. Nous avons montr´ eq u es iu
ε admet un d´ eveloppement limit´ e du type (2.27) alors les premiers termes sont n´ ecessairement
donn´ es par les u 0 et u 1 d´ etermin´ es ci-dessus. Dans le cadre monodimensionnel,
nous avons pu fournir la preuve, mais en toute g´ en´ eralit´ e, il reste ` a fonder ceci
math´ ematiquement. Nous ne sommes malheureusement pas en mesure de faire
ceci ici, pr´ ef´ erant nous consacrer `
a d’autres aspects. En fait, sous de bonnes
conditions sur les donn´ ees, on peut montrer que le d´ eveloppement (2.27) est
l´ egitime, au sens o` u u
ε − u 0 (·) − εu 1 (·,
·
ε
) tend effectivement fortement vers
0d a n sH
1 .
Cependant, d` es l’ordre 1 en ε,e ta fortiori pour les ordres suivants, la
situation n’est pas simple, notamment car des couches limites aux bords du
domaine rentrent en jeu. Ceci peut d´ ej` a se comprendre de la fa¸ con suivante.
Comme indiqu´ ee nfi nd eS e c t i o np r ´ ec´ edente, un point est pass´ e relativement
inaper¸ cu dans notre analyse de la section 2.3.1 : la condition au bord u
ε =0