66
2 Techniques d’homog´ en´ eisation
(u
ε (x))
′ − (u 0 (x)+εu
′
0 (x)w(
x
ε
))
′
L 2
= O(ε),
et en fait pas mieux que cela (Le v´ erifier en exercice).
Avec un plus d’effort, on peut faire le mˆ eme travail sur la fonction u
ε (x)
elle-mˆ eme. On a en effet
u
ε (x) − (u 0 (x)+εu
′
0 (x)w(
x
ε
))
= −
c ε +
1
0
f (t) dt −
1
0
tf (t) dt
x
0
1
a
(
t
ε
) dt
+
x
0
t
0
1
a
(
t
′
ε
) dt
′ − t<
1
a
>
f (t) dt,
o` u chacun des deux termes est un O(ε)e nn o r m eL
∞ (et donc en norme
L
2 ([0, 1])) en vertu de raisonnements d´ ej` a effectu´ es ci-dessus.
Nous avons donc
u
ε (x) − (u 0 (x)+εu
′
0 (x)w(
x
ε
))
H 1
= O(ε).
(2.61)
Au moins deux commentaires s’imposent ` a ce stade.
Premi` erement, on n’a pas mieux que l’ordre ε.I ls u ffi tp o u rl ev o i rd e
choisir une fonction f et une fonction a non triviales particuli` eres et de v´ erifier
que la convergence est alors exactement d’ordre ε.
Deuxi` emement, on pourrait `
ap r e m i ` ere vue ˆ etre “d´ e¸ cu” par cette convergence d’ordre ε. En effet, pour un d´ eveloppement limit´ e “classique”, on s’attend typiquement `
a ce que une diff´ erence v
ε − v 0 − εv 1 soit d’ordre o(ε), voire
O(ε
2 ). Il ne faut pas se faire abuser ici ! Comme
u 0 (x)+εu
′
0 (x)w(
x
ε
)
′
=(u 0 )
′ (x)+(u 0 )
′ (x)w
′ (
x
ε
)+ε(u 0 )
′′ (x)w(
x
ε
),
le terme d’ordre 1 cache en fait un terme d’ordre 0 pour la d´ eriv´ ee (` acausede
l’argument
x
ε
dans w). La convergence ` a l’ordre o(1) pour la convergence H
1
est donc en fait le r´ esultat naturel que l’on peut attendre, et une convergence
` a l’ordre O(ε) est donc un r´ esultat non trivial
5 .
Remarque 2.28. Cette convergence ` a l’ordre ε ne sera en fait pas n´ ecessairement vraie dans le cas g´ en´ eral (voir la Section 2.3.4), en partie `
a cause d’une
difficult´ e due aux conditions aux limites, et reli´ ee au point qui suit.
5 On pourrait cependant attendre O(ε
2 ) pour la norme L
2 .
2 Techniques d’homog´ en´ eisation
(u
ε (x))
′ − (u 0 (x)+εu
′
0 (x)w(
x
ε
))
′
L 2
= O(ε),
et en fait pas mieux que cela (Le v´ erifier en exercice).
Avec un plus d’effort, on peut faire le mˆ eme travail sur la fonction u
ε (x)
elle-mˆ eme. On a en effet
u
ε (x) − (u 0 (x)+εu
′
0 (x)w(
x
ε
))
= −
c ε +
1
0
f (t) dt −
1
0
tf (t) dt
x
0
1
a
(
t
ε
) dt
+
x
0
t
0
1
a
(
t
′
ε
) dt
′ − t<
1
a
>
f (t) dt,
o` u chacun des deux termes est un O(ε)e nn o r m eL
∞ (et donc en norme
L
2 ([0, 1])) en vertu de raisonnements d´ ej` a effectu´ es ci-dessus.
Nous avons donc
u
ε (x) − (u 0 (x)+εu
′
0 (x)w(
x
ε
))
H 1
= O(ε).
(2.61)
Au moins deux commentaires s’imposent ` a ce stade.
Premi` erement, on n’a pas mieux que l’ordre ε.I ls u ffi tp o u rl ev o i rd e
choisir une fonction f et une fonction a non triviales particuli` eres et de v´ erifier
que la convergence est alors exactement d’ordre ε.
Deuxi` emement, on pourrait `
ap r e m i ` ere vue ˆ etre “d´ e¸ cu” par cette convergence d’ordre ε. En effet, pour un d´ eveloppement limit´ e “classique”, on s’attend typiquement `
a ce que une diff´ erence v
ε − v 0 − εv 1 soit d’ordre o(ε), voire
O(ε
2 ). Il ne faut pas se faire abuser ici ! Comme
u 0 (x)+εu
′
0 (x)w(
x
ε
)
′
=(u 0 )
′ (x)+(u 0 )
′ (x)w
′ (
x
ε
)+ε(u 0 )
′′ (x)w(
x
ε
),
le terme d’ordre 1 cache en fait un terme d’ordre 0 pour la d´ eriv´ ee (` acausede
l’argument
x
ε
dans w). La convergence ` a l’ordre o(1) pour la convergence H
1
est donc en fait le r´ esultat naturel que l’on peut attendre, et une convergence
` a l’ordre O(ε) est donc un r´ esultat non trivial
5 .
Remarque 2.28. Cette convergence ` a l’ordre ε ne sera en fait pas n´ ecessairement vraie dans le cas g´ en´ eral (voir la Section 2.3.4), en partie `
a cause d’une
difficult´ e due aux conditions aux limites, et reli´ ee au point qui suit.
5 On pourrait cependant attendre O(ε
2 ) pour la norme L
2 .