2.3 Des cas plus compliqu´ es : la convergence ` ad e u x´ echelles
65
(u
ε (x))
′ −
u 0 (x)+εu
′
0 (x)w(
x
ε
)
′ =(u
ε (x))
′ −(1+w
′ (
x
ε
))(u 0 )
′ −ε(u 0 )
′′ (x)w(
x
ε
).
(2.58)
Le dernier terme vaut
ε(u 0 )
′′ (x)w(
x
ε
)=−ε<
1
a
>f (x)
−
x
ε
+
1
<
1
a >
x
ε
0
1
a
=
−x<
1
a
> +
x
0
1
a
(
t
ε
) dt
f (x),
et est donc une fonction qui tend vers zero en norme L
2 en O(ε)p a rl em ˆ eme
raisonnement que pour (2.56). Et l’on peut donc r´ ecrire, en tenant compte de
la valeur de 1 + w
′ ,
(u
ε (x))
′ −
u 0 (x)+εu
′
0 (x)w(
x
ε
)
′ =( u
ε (x))
′ −
1
<
1
a >
1
a(
x
ε )
u
′
0 (x)+O L 2 (ε)
= −
1
a
(
x
ε
)
c ε +
1
0
f (t) dt −
1
0
tf (t) dt
+O L 2 (ε).
(2.59)
A cause de (2.57), nous avons donc maintenant bien la convergence forte de
(u
ε (x))
′ − (u 0 (x)+εu
′
0 (x)w(
x
ε ))
′ vers 0 dans L
2 ,e td o n c
u
ε (x) − (u 0 (x)+εu
′
0 (x)w(
x
ε
)) tend fortement vers 0 dans H
1 (Ω), (2.60)
(puisque le terme εu
′
0 (x)w(
x
ε
) ne modifie pas la convergence L
2 pr´ ec´ edemment
prouv´ ee).
Remarque 2.26. Nous retrouverons `
a la Section suivante le fait qu’il est important d’obtenir une telle convergence forte.
Exercice 2.27. En reprenant le d´ etail des calculs pr´ ec´ edents pour une fonction w s’´ ecrivant
w(x, y)=h(x) − y +
1
<
1
a >
y
0
1
a
(o` u h(x) est arbitraire), montrer que le fait qu’on ait pris dans la d´ efinition
de w la “constante” d’int´ egration h(x) nulle ne modifie en rien la convergence
(2.60).
Pourquoi ne pas pousser l’analyse plus loin en se demandant : pouvonsnous dire `
a quel ordre en ε la convergence de (u
ε (x)) − (u 0 (x)+εu
′
0 (x)w(
x
ε ))
vers 0 dans H
1 a lieu ?
Encore une fois, comme nous disposons en dimension 1 des expressions
explicites, il suffit de mener le calcul. Nous venons de montrer avec (2.59) et
(2.57) que