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2 Techniques d’homog´ en´ eisation
c ε +
1
0
f (t) dt −
1
0
tf (t) dt =
1
0
t
0
1
a
(
t
′
ε
) dt
′ − t
1
0
1
a
(
t
′
ε
) dt
′
f (t) dt
1
0
1
a
(
t
ε
) dt
,
o` u, en d´ esignant par [y]l ap a r t i ee n t i ` ere de y,
t
0
1
a
(
t
′
ε
) dt
′ − t
1
0
1
a
(
t
′
ε
) dt
′
L ∞
= ε
t
ε
0
1
a
(t
′ ) dt
′ − t
1
ε
0
1
a
(t
′ ) dt
′
L ∞
= ε
t
ε
[
t
ε ]
1
a
− t
1
ε
[
1
ε ]
1
a
+ O(1)
L ∞
= O(ε).
(2.56)
Nous avons donc
c ε +
1
0
f (t) dt −
1
0
tf (t) dt = O(ε).
(2.57)
Quant au premier terme, il tend faiblement vers 0 dans L
2 par produit : la
fonction
1
a
(
x
ε
)− <
1
a
> converge faiblement vers 0 dans L
2 ,e tl af o n c t i o n
c ε +
x
0
f (t) dt converge fortement dans L
∞ , et ce vers la fonction
−
1
0
f (t) dt +
1
0
tf (t) dt +
x
0
f (t) dt.
Par cons´ equent, `
a cause de ce premier terme, on retrouve que
(u
ε )
′ − (u 0 )
′
tend faiblement vers 0, et pas fortement. Pour s’en convaincre, il suffit de
fixer une fonction f et de prendre un exemple de fonction
1
a
(
x
ε
)− <
1
a
> qui
converge faiblement et pas fortement vers 0.
Obtenir une convergence forte de (u
ε )
′ vers (u 0 )
′ dans L
2 ([0, 1]) est
pr´ ecis´ ement le but de la pr´ esence du terme d’ordre 1 dans le d´ eveloppement
` ad e u x´ echelles.
Consid´ erons en effet maintenant la diff´ erence
(u
ε (x))
′ − (u 0 (x)+εu
′
0 (x)w(
x
ε
))
′ ,
que nous ´ evaluons