2.3 Des cas plus compliqu´ es : la convergence ` ad e u x´ echelles
63
Plus explicitement, la valeur de la fonction w (d´ e fi n i eo nl er a p p e l l e` a une
constante additive pr` es en y) est donc
w(y)=−y +
1
<
1
a >
y
0
1
a
(2.52)
de d´ eriv´ ee
w
′ (y)=−1+
1
<
1
a >
1
a(y)
.
(2.53)
En injectant (2.53) dans (2.50), on trouve la valeur du coefficient homog´ en´ eis´ e
a
⋆ =
1
0
a(y)(1 + w
′ (y))
2 dy =
1
0
a(y)
1
<
1
a > 2
1
a(y) 2 dy =
1
<
1
a >
qui est bien la valeur trouv´ ee ` a la Section 2.1. Il s’ensuit ´ evidemment que
la fonction u
⋆ est bien ´ egale ` a u 0 , et donc la Section 2.1 prouve que le
d´ eveloppement ` adeux´ echelles est au moins correct pour son ordre z´ ero, `
asavoir que u
ε converge faiblement vers u 0 dans H
1 ([0, 1]). C’est le seul exemple
o` u nous pourrons effectivement prouver cela dans ce cours.
Soyons curieux. La convergence de u
ε vers u 0 est-elle forte dans H
1 ? Cela
revient `
a se poser la question suivante : la d´ eriv´ ee (u
ε )
′ tend-elle fortement
vers (u 0 )
′ dans L
2 ([0, 1]) ?
L’int´ erˆ et de la dimension 1 est que nous pouvons tout calculer explicitement. Ainsi, il est possible en suivant la d´ e m a r c h ed el ap r e u v ed el aP r o p o -
sition 2.3, de r´ esoudre (2.1) pour chaque ε>0e td et r o u v e r
u
ε (x)=−
c ε +
x
0
f (t) dt
x
0
1
a
(
t
ε
) dt +
x
0
t
0
1
a
(
t
′
ε
) dt
′
f (t) dt (2.54)
o` u la constante c ε (celle de (2.7)) vaut
c ε =
−
1
0
1
a
(
t
ε
) dt
1
0
f (t) dt +
1
0
t
0
1
a
(
t
′
ε
) dt
′
f (t) dt
1
0
1
a
(
t
ε
) dt
.
(2.55)
La d´ eriv´ ee (u
ε )
′ est bien entendu donn´ ee par (2.7).
Formons alors la diff´ erence (u
ε )
′ − (u 0 )
′ et ´ evaluons-la :
(u
ε )
′ − (u 0 )
′ =
−
1
a
(
x
ε
)+ <
1
a
>
c ε +
x
0
f (t) dt
− <
1
a
>
c ε +
1
0
f (t) dt −
1
0
tf (t) dt
.
Le second terme du membre de droite est une constante r´ eelle qui tend vers 0
avec ε. En effet, nous remarquons alors que
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Plus explicitement, la valeur de la fonction w (d´ e fi n i eo nl er a p p e l l e` a une
constante additive pr` es en y) est donc
w(y)=−y +
1
<
1
a >
y
0
1
a
(2.52)
de d´ eriv´ ee
w
′ (y)=−1+
1
<
1
a >
1
a(y)
.
(2.53)
En injectant (2.53) dans (2.50), on trouve la valeur du coefficient homog´ en´ eis´ e
a
⋆ =
1
0
a(y)(1 + w
′ (y))
2 dy =
1
0
a(y)
1
<
1
a > 2
1
a(y) 2 dy =
1
<
1
a >
qui est bien la valeur trouv´ ee ` a la Section 2.1. Il s’ensuit ´ evidemment que
la fonction u
⋆ est bien ´ egale ` a u 0 , et donc la Section 2.1 prouve que le
d´ eveloppement ` adeux´ echelles est au moins correct pour son ordre z´ ero, `
asavoir que u
ε converge faiblement vers u 0 dans H
1 ([0, 1]). C’est le seul exemple
o` u nous pourrons effectivement prouver cela dans ce cours.
Soyons curieux. La convergence de u
ε vers u 0 est-elle forte dans H
1 ? Cela
revient `
a se poser la question suivante : la d´ eriv´ ee (u
ε )
′ tend-elle fortement
vers (u 0 )
′ dans L
2 ([0, 1]) ?
L’int´ erˆ et de la dimension 1 est que nous pouvons tout calculer explicitement. Ainsi, il est possible en suivant la d´ e m a r c h ed el ap r e u v ed el aP r o p o -
sition 2.3, de r´ esoudre (2.1) pour chaque ε>0e td et r o u v e r
u
ε (x)=−
c ε +
x
0
f (t) dt
x
0
1
a
(
t
ε
) dt +
x
0
t
0
1
a
(
t
′
ε
) dt
′
f (t) dt (2.54)
o` u la constante c ε (celle de (2.7)) vaut
c ε =
−
1
0
1
a
(
t
ε
) dt
1
0
f (t) dt +
1
0
t
0
1
a
(
t
′
ε
) dt
′
f (t) dt
1
0
1
a
(
t
ε
) dt
.
(2.55)
La d´ eriv´ ee (u
ε )
′ est bien entendu donn´ ee par (2.7).
Formons alors la diff´ erence (u
ε )
′ − (u 0 )
′ et ´ evaluons-la :
(u
ε )
′ − (u 0 )
′ =
−
1
a
(
x
ε
)+ <
1
a
>
c ε +
x
0
f (t) dt
− <
1
a
>
c ε +
1
0
f (t) dt −
1
0
tf (t) dt
.
Le second terme du membre de droite est une constante r´ eelle qui tend vers 0
avec ε. En effet, nous remarquons alors que