62
2 Techniques d’homog´ en´ eisation
2.3.3 Retour sur le cas monodimensionnel
A ce stade, il est utile de revenir en d´ etail sur le probl` eme monodimensionnel
(2.1). A la Section 2.1, nous avons vu que le probl` eme homog´ en´ eis´ e correspondant s’´ ecrit (2.6), `
as a v o i r
−
d
dx
(
1
<
1
a >
d
dx
u
⋆ )=f,
assorti des conditions aux limites u
⋆ (0) = u
⋆ (1) = 0. La limite de u
ε est :
u
⋆ =<
1
a
>
−x
x
0
f (t) dt +
x
0
tf (t) dt + x
1
0
f (t) dt −
1
0
tf (t) dt
,
(2.48)
de d´ eriv´ ee
(u
⋆ )
′ =<
1
a
>
−
x
0
f (t) dt +
1
0
f (t) dt −
1
0
tf (t) dt
.
(2.49)
Alternativement, le r´ esultat de la m´ ethode de convergence ` ad e u x´ echelles
de la Section 2.3 nous enseigne que, si le d´ eveloppement est bon, alors le terme
d’ordre z´ ero en ε est solution de (2.41), qui s’´ ecrit ici
−
d
dx
(a
⋆ d
dx
u 0 )=f, dans [0, 1],
u 0 =0 , en 0 et 1,
o` ul ec o e ffi c i e n th o m o g ´ en´ eis´ e a
⋆ s’exprime selon (2.40) et donc ici
a
⋆ =
1
0
a(y)(1 + w
′ (y))
2 dy,
(2.50)
et o` ulafonctionw (il n’y en a qu’une ici puisqu’on travaille en une dimension)
est solution de (2.36), ici
⎧
⎨
⎩
−
d
dy
(a(y)(1 +
d
dy
w(y))) = 0, dans [0, 1],
w p´ eriodique
de p´ eriode 1.
On d´ eduit de cette ´ equation que
a(y)(1 +
d
dy
w(y)) = constante,
et on identifie la constante en imposant la condition p´ eriodique w(0) = w(1),
a(y)(1 +
d
dy
w(y)) =
1
<
1
a >
.
(2.51)
2 Techniques d’homog´ en´ eisation
2.3.3 Retour sur le cas monodimensionnel
A ce stade, il est utile de revenir en d´ etail sur le probl` eme monodimensionnel
(2.1). A la Section 2.1, nous avons vu que le probl` eme homog´ en´ eis´ e correspondant s’´ ecrit (2.6), `
as a v o i r
−
d
dx
(
1
<
1
a >
d
dx
u
⋆ )=f,
assorti des conditions aux limites u
⋆ (0) = u
⋆ (1) = 0. La limite de u
ε est :
u
⋆ =<
1
a
>
−x
x
0
f (t) dt +
x
0
tf (t) dt + x
1
0
f (t) dt −
1
0
tf (t) dt
,
(2.48)
de d´ eriv´ ee
(u
⋆ )
′ =<
1
a
>
−
x
0
f (t) dt +
1
0
f (t) dt −
1
0
tf (t) dt
.
(2.49)
Alternativement, le r´ esultat de la m´ ethode de convergence ` ad e u x´ echelles
de la Section 2.3 nous enseigne que, si le d´ eveloppement est bon, alors le terme
d’ordre z´ ero en ε est solution de (2.41), qui s’´ ecrit ici
−
d
dx
(a
⋆ d
dx
u 0 )=f, dans [0, 1],
u 0 =0 , en 0 et 1,
o` ul ec o e ffi c i e n th o m o g ´ en´ eis´ e a
⋆ s’exprime selon (2.40) et donc ici
a
⋆ =
1
0
a(y)(1 + w
′ (y))
2 dy,
(2.50)
et o` ulafonctionw (il n’y en a qu’une ici puisqu’on travaille en une dimension)
est solution de (2.36), ici
⎧
⎨
⎩
−
d
dy
(a(y)(1 +
d
dy
w(y))) = 0, dans [0, 1],
w p´ eriodique
de p´ eriode 1.
On d´ eduit de cette ´ equation que
a(y)(1 +
d
dy
w(y)) = constante,
et on identifie la constante en imposant la condition p´ eriodique w(0) = w(1),
a(y)(1 +
d
dy
w(y)) =
1
<
1
a >
.
(2.51)