2.3 Des cas plus compliqu´ es : la convergence ` ad e u x´ echelles
61
inf
u ∈ H
1
0 (Ω)
1
2
Ω
inf
∇v p´ eriodique
Y
∇v = ∇u(x)
Y
(∇v(y) ,A (y) ·∇v(y)) dy
dx −
Ω
fu,
(2.46)
Ceci est l’interpr´ etation variationnelle de la d´ emarche que nous avons eue
dans le langage des ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles.
Elle peut ˆ etre utilement rapproch´ ee de ce que nous avons vu au premier
Chapitre, et notamment de la formule (1.20). L’int´ egrande dans le premier
terme de (2.46) est une fa¸ con d’exprimer la densit´ e d’energie macroscopique :
il suffit de noter
W (F )=
inf
∇v p´ eriodique
Y
∇v = F (x)
Y
(∇v(y) ,A (y) ·∇ v(y)) dy
dx
On la calculera en r´ esolvant le probl` eme ` al ’ ´ echelle microscopique, comme on
calculait au Chapitre 1 pour (1.20)
{´ energie du r´ eseau cristallin plac´ ee nx et d´ eform´ ep a rF (x)}
laquelle ´ etait aussi, implicitement, un probl` eme de minimisation.
Remarque 2.25. Cette interpr´ etation variationnelle, symbolis´ ee par la formule
(2.46), est en fait plus g´ en´ erale que l’interpr´ etation EDP que nous avons
pr´ esent´ ee pr´ ec´ edemment (sous r´ eserve,b i e ns ˆ
ur, d’avoir dans le probl` eme
une ´ energie sous-jacente, c’est-` a-dire, dans le cas quadratique, une matrice
sym´ etrique). Elle permet alors de traiter des cas plus compliqu´ e sq u el e“ s i m -
ple” cas p´ eriodique que nous traitons ici, comme des fonctionnelles d’´ energie
non quadratiques, des coefficients al´ eatoires,... Une ´ ecriture plus g´ en´ erale (un
peu formelle) de la formule (2.46), et qui permet d’ailleurs d’encore mieux
comprendre ce qui a ´ et´ e fait ici, est la suivante :
inf
u ∈ H
1
0 (Ω)
1
2
Ω
inf
∇v = ∇u(x)
Energie de ∇v
dx −
Ω
fu,
(2.47)
o` ul es i g n e·· d´ esigne la moyenne sur un ´ el´ ement repr´ esentatif (dans le cas
p´ eriodique, il s’agit de l’int´ egrale sur la cellule de p´ eriodicit´ e =
Y
·(y) dy).
De plus, cette approche est intimement li´ ee ` al at h ´ eorie dite de la Γ -
convergence, qui permet de d´ efinir la limite d’une suite de probl` emes de minimisation, et de reconnaˆ ıtre cette limite comme un nouveau probl` eme de
minimisation.
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inf
u ∈ H
1
0 (Ω)
1
2
Ω
inf
∇v p´ eriodique
Y
∇v = ∇u(x)
Y
(∇v(y) ,A (y) ·∇v(y)) dy
dx −
Ω
fu,
(2.46)
Ceci est l’interpr´ etation variationnelle de la d´ emarche que nous avons eue
dans le langage des ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles.
Elle peut ˆ etre utilement rapproch´ ee de ce que nous avons vu au premier
Chapitre, et notamment de la formule (1.20). L’int´ egrande dans le premier
terme de (2.46) est une fa¸ con d’exprimer la densit´ e d’energie macroscopique :
il suffit de noter
W (F )=
inf
∇v p´ eriodique
Y
∇v = F (x)
Y
(∇v(y) ,A (y) ·∇ v(y)) dy
dx
On la calculera en r´ esolvant le probl` eme ` al ’ ´ echelle microscopique, comme on
calculait au Chapitre 1 pour (1.20)
{´ energie du r´ eseau cristallin plac´ ee nx et d´ eform´ ep a rF (x)}
laquelle ´ etait aussi, implicitement, un probl` eme de minimisation.
Remarque 2.25. Cette interpr´ etation variationnelle, symbolis´ ee par la formule
(2.46), est en fait plus g´ en´ erale que l’interpr´ etation EDP que nous avons
pr´ esent´ ee pr´ ec´ edemment (sous r´ eserve,b i e ns ˆ
ur, d’avoir dans le probl` eme
une ´ energie sous-jacente, c’est-` a-dire, dans le cas quadratique, une matrice
sym´ etrique). Elle permet alors de traiter des cas plus compliqu´ e sq u el e“ s i m -
ple” cas p´ eriodique que nous traitons ici, comme des fonctionnelles d’´ energie
non quadratiques, des coefficients al´ eatoires,... Une ´ ecriture plus g´ en´ erale (un
peu formelle) de la formule (2.46), et qui permet d’ailleurs d’encore mieux
comprendre ce qui a ´ et´ e fait ici, est la suivante :
inf
u ∈ H
1
0 (Ω)
1
2
Ω
inf
∇v = ∇u(x)
Energie de ∇v
dx −
Ω
fu,
(2.47)
o` ul es i g n e·· d´ esigne la moyenne sur un ´ el´ ement repr´ esentatif (dans le cas
p´ eriodique, il s’agit de l’int´ egrale sur la cellule de p´ eriodicit´ e =
Y
·(y) dy).
De plus, cette approche est intimement li´ ee ` al at h ´ eorie dite de la Γ -
convergence, qui permet de d´ efinir la limite d’une suite de probl` emes de minimisation, et de reconnaˆ ıtre cette limite comme un nouveau probl` eme de
minimisation.