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2 Techniques d’homog´ en´ eisation
∀z ∈ IR
N ,z A
⋆ z =i n f
∇u p´ eriodique
Y
∇u = z
Y
(∇u(y) ,A (y) ·∇ u(y)) dy. (2.42)
En effet (on peut le montrer en exercice ; c’est facile en dimension 1, et c’est
plus difficile en dimension quelconque), si e i est un vecteur de la base canonique, alors il est ´ equivalent de consid´ erer toutes les fonctions u, de gradient
p´ eriodique, telles que
Y
∇u = e i et toutes les fonctions u s’´ ecrivant u = x i +w
o` u w est une fonction p´ eriodique. Donc le probl` eme de minimisation (2.42) se
r´ ecrit dans ce cas
e i A
⋆ e i =i n f
w p´ eriodique
Y
((e i + ∇w(y)) ,A (y) · (e i + ∇w(y))) dy. (2.43)
Or, par une preuve simple de calcul des variations, le minimiseur de ce
probl` eme (2.43) est exactement w i d´ efini par (2.36), et vaut donc
e i A
⋆ e i =i n f
w p´ eriodique
Y
((e i + ∇w(y)) ,A (y) · (e i + ∇w(y))) dy
=
Y
((e i + ∇w i (y)) ,A (y) · (e i + ∇w i (y))) dy.
(2.44)
On retrouve la formule (2.40) pour i = j. En calculant plus g´ en´ eralement
xA
⋆ x pour tout x, on peut reconstruire tous les coefficients et retrouver (2.40)
pour tout i, j.
D’un point de vue heuristique, en se souvenant que l’on est parti de la
solution u
ε de (2.26) qui est aussi le minimiseur de
inf
u ∈ H
1
0 (Ω)
1
2
Ω
(∇u(x) ,A (
x
ε
) ·∇ u(x)) dx −
Ω
f (x)u(x) dx,
(2.45)
on constate qu’il est “naturel” que le probl` eme de minimisation (2.42) entre
en jeu.
Ce que l’on a en fait montr´ e, c’est que la solution homog´ en´ eis´ ee u 0 ,a p -
proximation de u
ε minimiseur de (2.45) ´ etait le minimiseur de
2 Techniques d’homog´ en´ eisation
∀z ∈ IR
N ,z A
⋆ z =i n f
∇u p´ eriodique
Y
∇u = z
Y
(∇u(y) ,A (y) ·∇ u(y)) dy. (2.42)
En effet (on peut le montrer en exercice ; c’est facile en dimension 1, et c’est
plus difficile en dimension quelconque), si e i est un vecteur de la base canonique, alors il est ´ equivalent de consid´ erer toutes les fonctions u, de gradient
p´ eriodique, telles que
Y
∇u = e i et toutes les fonctions u s’´ ecrivant u = x i +w
o` u w est une fonction p´ eriodique. Donc le probl` eme de minimisation (2.42) se
r´ ecrit dans ce cas
e i A
⋆ e i =i n f
w p´ eriodique
Y
((e i + ∇w(y)) ,A (y) · (e i + ∇w(y))) dy. (2.43)
Or, par une preuve simple de calcul des variations, le minimiseur de ce
probl` eme (2.43) est exactement w i d´ efini par (2.36), et vaut donc
e i A
⋆ e i =i n f
w p´ eriodique
Y
((e i + ∇w(y)) ,A (y) · (e i + ∇w(y))) dy
=
Y
((e i + ∇w i (y)) ,A (y) · (e i + ∇w i (y))) dy.
(2.44)
On retrouve la formule (2.40) pour i = j. En calculant plus g´ en´ eralement
xA
⋆ x pour tout x, on peut reconstruire tous les coefficients et retrouver (2.40)
pour tout i, j.
D’un point de vue heuristique, en se souvenant que l’on est parti de la
solution u
ε de (2.26) qui est aussi le minimiseur de
inf
u ∈ H
1
0 (Ω)
1
2
Ω
(∇u(x) ,A (
x
ε
) ·∇ u(x)) dx −
Ω
f (x)u(x) dx,
(2.45)
on constate qu’il est “naturel” que le probl` eme de minimisation (2.42) entre
en jeu.
Ce que l’on a en fait montr´ e, c’est que la solution homog´ en´ eis´ ee u 0 ,a p -
proximation de u
ε minimiseur de (2.45) ´ etait le minimiseur de