2.3 Des cas plus compliqu´ es : la convergence ` ad e u x´ echelles
59
−div( x) grad u*)= f
Α∗(
Α∗=...
Fig. 2.3. En chaque maille de taille macroscopique, on r´ esout le probl` eme sousmaille pour d´ eterminer les termes de la matrice homog´ en´ eis´ ee.
Autrement dit, connaˆ ıtre u ε ` a l’ordre 0 en ε (et en fait quasiment ` a
l’ordre 1, modulo de subtiles questions de couche limite qu’on mentionnera
rapidement plus loin) nous coˆ ute N + 1 calculs sur un maillage standard, au
lieu d’un calcul sur un maillage de taille ε (qui certes nous donnerait u ε `
a
tous les ordres). Et la situation est d’autant meilleure que l’on veut r´ esoudre
(2.26) pour beaucoup de seconds membres.
Cependant, malgr´ e cet ´ evident succ` es, le lecteur doit garder `
a l’esprit que
premi` erement, nous n’avons rien prouv´ e (tout le travail ci-dessus est ` ac e
stade purement formel), et deuxi` emement le passage ` a la limite brutal “on
remplace ε par z´ ero” a ses propres carences.
Dans les sections qui viennent, nous allons successivement regarder le travail effectu´ e avec un point de vue sensiblement diff´ erent, le point de vue
´ energ´ etique ou variationnel (Section 2.3.2), puis revenir, en Section 2.3.3, sur
le cas monodimensionnel pour constater la consistance du travail effectu´ ei c i
avec le travail effectu´ e en Section 2.1. Ceci nous permettra aussi de fournir,
en dimension 1, une preuve du fait que le d´ eveloppement effectu´ e est le bon.
Puis, au contraire, nous retournerons en Section 2.3.4 vers le cadre g´ en´ eral
de la Section 2.2.2 pour voir en quoi notre cas p´ eriodique rejoint ce cadre
g´ en´ eral, et en quoi le d´ eveloppement fait ici est mieux que formel. Pour tenter
de r´ epondre `
a l’objection “ε n’est pas z´ ero”, nous allons rapidement esquisser
ensuite en Section 2.4 des m´ ethodes plus sophistiqu´ ees.
2.3.2 L’interpr´ etation ´ energ´ etique
Commentons un peu la d´ efinition (2.40) de la matrice homog´ en´ eis´ ee A
⋆ avec
le point de vue ´ energ´ etique.
En fait, p a r c eq u ’ e l l ee s ts y m ´ etrique,l am a t r i c eA
⋆ peut de fa¸ con ´ equivalente ˆ etre d´ efinie par
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−div( x) grad u*)= f
Α∗(
Α∗=...
Fig. 2.3. En chaque maille de taille macroscopique, on r´ esout le probl` eme sousmaille pour d´ eterminer les termes de la matrice homog´ en´ eis´ ee.
Autrement dit, connaˆ ıtre u ε ` a l’ordre 0 en ε (et en fait quasiment ` a
l’ordre 1, modulo de subtiles questions de couche limite qu’on mentionnera
rapidement plus loin) nous coˆ ute N + 1 calculs sur un maillage standard, au
lieu d’un calcul sur un maillage de taille ε (qui certes nous donnerait u ε `
a
tous les ordres). Et la situation est d’autant meilleure que l’on veut r´ esoudre
(2.26) pour beaucoup de seconds membres.
Cependant, malgr´ e cet ´ evident succ` es, le lecteur doit garder `
a l’esprit que
premi` erement, nous n’avons rien prouv´ e (tout le travail ci-dessus est ` ac e
stade purement formel), et deuxi` emement le passage ` a la limite brutal “on
remplace ε par z´ ero” a ses propres carences.
Dans les sections qui viennent, nous allons successivement regarder le travail effectu´ e avec un point de vue sensiblement diff´ erent, le point de vue
´ energ´ etique ou variationnel (Section 2.3.2), puis revenir, en Section 2.3.3, sur
le cas monodimensionnel pour constater la consistance du travail effectu´ ei c i
avec le travail effectu´ e en Section 2.1. Ceci nous permettra aussi de fournir,
en dimension 1, une preuve du fait que le d´ eveloppement effectu´ e est le bon.
Puis, au contraire, nous retournerons en Section 2.3.4 vers le cadre g´ en´ eral
de la Section 2.2.2 pour voir en quoi notre cas p´ eriodique rejoint ce cadre
g´ en´ eral, et en quoi le d´ eveloppement fait ici est mieux que formel. Pour tenter
de r´ epondre `
a l’objection “ε n’est pas z´ ero”, nous allons rapidement esquisser
ensuite en Section 2.4 des m´ ethodes plus sophistiqu´ ees.
2.3.2 L’interpr´ etation ´ energ´ etique
Commentons un peu la d´ efinition (2.40) de la matrice homog´ en´ eis´ ee A
⋆ avec
le point de vue ´ energ´ etique.
En fait, p a r c eq u ’ e l l ee s ts y m ´ etrique,l am a t r i c eA
⋆ peut de fa¸ con ´ equivalente ˆ etre d´ efinie par