58
2 Techniques d’homog´ en´ eisation
(i) on d´ etermine w i par r´ esolution des probl` emes sous-maille (2.36) sur la
cellule de p´ eriodicit´ e
(ii) on calcule les termes de la matrice A
⋆ par (2.40)
(iii) on r´ esout le probl` eme homog´ en´ eis´ e (2.41) pour trouver u 0
(iv) on calcule u 1 par (2.35), si on souhaite avoir le terme d’ordre 1
(v) on peut ensuite r´ esoudre (2.37) si on souhaite le terme suivant du
d´ eveloppement, et ainsi de suite...
Notons que les ´ etapes [i] et [ii] sont les pr´ ecalculs qui permettent comme
dans les cas plus simples des sections ci-dessus de d´ eterminer les termes de
la matrice homog´ en´ eis´ ee A
⋆ .O nv o i tq u e ,c e t t ef o i s ,c ep r ´ ecalcul est en fait
la r´ esolution d’un ensemble de probl` emes aux limites (en fait autant que de
dimensions) et pas seulement un “simple” calcul de moyenne d’une fonction
p´ eriodique. De tels calculs, plus l’assemblage de la matrice A
⋆ , ne sont pas
gratuits ! Il faudra bien en ˆ etre conscient avant d’entamer cette strat´ egie de
passage ` a la limite.
Remarque 2.23. On reviendra utilement `
a la Remarque 2.17.
Remarque 2.24. En fait, on est ici dans un cas simple car l’hypoth` ese de
p´ eriodicit´ ef a i t es u rA entraˆ ıne que la d´ etermination de A
⋆ ne d´ epend en
fait pas du point macroscopique x. Dans un milieu plus compliqu´ eo `
uo na u -
rait une matrice A(x,
x
ε ), on devrait r´ esoudre les probl` emes de type (2.36) en
chaque point x macroscopique
4 . Ce qui est bien sˆ ur beaucoup plus cher, mˆ eme
si on peut en fait faire cela en parall` ele, et une seule fois pour tous les seconds
membres f .
Il est utile de remarquer que ce que nous avons obtenu `
a la limite est en
fait une hi´ erarchie d’´ equations
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
u 0 en fonction de f et A
⋆ via (2.41)
u 1 en fonction de u 0 via (2.34)
u 2 en fonction de u 1 et u 0 via (2.37)
...
L’int´ erˆ et pratique est clair (mˆ eme si on le r´ ep` ete tout n’est pas gratuit
dans cette approche) : on n’a pas ` a discr´ etiser le domaine de d´ epart avec une
´ echelle aussi fine que ε dans un calcul coupl´ ea v e cl ’ ´ echelle 1. Il s’agit d’un
pr´ ecalcul (la r´ esolution de (2.36) `
a une ´ echelle fine) qui est ensuite inject´ e
dans le calcul avec maillage grossier (2.41) via la formule (2.40).
En r´ esum´ e, en r´ esolvant d’abord les N probl` emes (2.36) sur la maille, on
est en mesure d’obtenir pour tous les seconds membres f , une bonne approximation de la solution u ε de (2.26) rien qu’en r´ esolvant (2.41) `
al ’ ´ echelle 1.
4 En un certain sens, cette observation pr´ epare ce que nous verrons au Chapitre 4.
2 Techniques d’homog´ en´ eisation
(i) on d´ etermine w i par r´ esolution des probl` emes sous-maille (2.36) sur la
cellule de p´ eriodicit´ e
(ii) on calcule les termes de la matrice A
⋆ par (2.40)
(iii) on r´ esout le probl` eme homog´ en´ eis´ e (2.41) pour trouver u 0
(iv) on calcule u 1 par (2.35), si on souhaite avoir le terme d’ordre 1
(v) on peut ensuite r´ esoudre (2.37) si on souhaite le terme suivant du
d´ eveloppement, et ainsi de suite...
Notons que les ´ etapes [i] et [ii] sont les pr´ ecalculs qui permettent comme
dans les cas plus simples des sections ci-dessus de d´ eterminer les termes de
la matrice homog´ en´ eis´ ee A
⋆ .O nv o i tq u e ,c e t t ef o i s ,c ep r ´ ecalcul est en fait
la r´ esolution d’un ensemble de probl` emes aux limites (en fait autant que de
dimensions) et pas seulement un “simple” calcul de moyenne d’une fonction
p´ eriodique. De tels calculs, plus l’assemblage de la matrice A
⋆ , ne sont pas
gratuits ! Il faudra bien en ˆ etre conscient avant d’entamer cette strat´ egie de
passage ` a la limite.
Remarque 2.23. On reviendra utilement `
a la Remarque 2.17.
Remarque 2.24. En fait, on est ici dans un cas simple car l’hypoth` ese de
p´ eriodicit´ ef a i t es u rA entraˆ ıne que la d´ etermination de A
⋆ ne d´ epend en
fait pas du point macroscopique x. Dans un milieu plus compliqu´ eo `
uo na u -
rait une matrice A(x,
x
ε ), on devrait r´ esoudre les probl` emes de type (2.36) en
chaque point x macroscopique
4 . Ce qui est bien sˆ ur beaucoup plus cher, mˆ eme
si on peut en fait faire cela en parall` ele, et une seule fois pour tous les seconds
membres f .
Il est utile de remarquer que ce que nous avons obtenu `
a la limite est en
fait une hi´ erarchie d’´ equations
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
u 0 en fonction de f et A
⋆ via (2.41)
u 1 en fonction de u 0 via (2.34)
u 2 en fonction de u 1 et u 0 via (2.37)
...
L’int´ erˆ et pratique est clair (mˆ eme si on le r´ ep` ete tout n’est pas gratuit
dans cette approche) : on n’a pas ` a discr´ etiser le domaine de d´ epart avec une
´ echelle aussi fine que ε dans un calcul coupl´ ea v e cl ’ ´ echelle 1. Il s’agit d’un
pr´ ecalcul (la r´ esolution de (2.36) `
a une ´ echelle fine) qui est ensuite inject´ e
dans le calcul avec maillage grossier (2.41) via la formule (2.40).
En r´ esum´ e, en r´ esolvant d’abord les N probl` emes (2.36) sur la maille, on
est en mesure d’obtenir pour tous les seconds membres f , une bonne approximation de la solution u ε de (2.26) rien qu’en r´ esolvant (2.41) `
al ’ ´ echelle 1.
4 En un certain sens, cette observation pr´ epare ce que nous verrons au Chapitre 4.