2.3 Des cas plus compliqu´ es : la convergence ` ad e u x´ echelles
57
−div x
Y
A(y) ·
N
j=1
∂u 0
∂x j
(x)(∇ y w j (y)+e j ) dy
= f (x).
(2.38)
Ac es t a d e ,o nr e m a r q u e
Y
A(y) ·
N
j=1
∂u 0
∂x j
(x)(∇ y w j (y)+e j ) dy
=
Y
A(y) ·
N
j=1
(∇u 0 (x)) j (∇ y w j (y)+e j ) dy
=
N
j=1
(∇u 0 (x)) j
Y
A(y) · (∇ y w j (y)+e j ) dy
=
N
i=1
N
j=1
N
k=1
Y
A ik (y)(∇ y w j (y)+e j ) k dy (∇u 0 (x)) j
e i
=
N
i=1
N
j=1
A
⋆
ij (∇u 0 (x)) j
e i
= A
⋆ ·∇u 0 (x)
o` u les termes de la matrice A
⋆ sont donn´ es, pour i, j =1...N par
A
⋆
ij =
N
k=1
Y
A ik (y)(∇ y w j (y)+e j ) k dy
=
Y
(A(y) · (∇ y w j (y)+e j ),e i ) dy.
(2.39)
En fait, on peut montrer (voir l’Exercice ci-dessous) que les coefficients de A
⋆
peuvent s’´ ecrire
A
⋆
ij =
Y
A(y)(e i + ∇ y w i ), (e j + ∇ y w j )
dy.
(2.40)
L’´ equation (2.38) peut en fait se r´ ecrire sous la forme du probl` eme homog´ en´ eis´ e
−div (A
⋆ ·∇u 0 )=f, dans Ω,
u 0 =0 , sur ∂Ω,
(2.41)
Exercice 2.22. En utilisant le caract` ere sym´ etrique de A et la d´ efinition
(2.36) des w j , montrer dans le d´ etail comment on passe de (2.39) ` a (2.40).
A ce stade, nous avons donc d´ etermin´ e les deux premiers termes u 0 et u 1
du d´ eveloppement limit´ ed eu
ε en fonction de ε. Dans l’ordre,