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2 Techniques d’homog´ en´ eisation
(i) on d´ esolidarise x de y, alors qu’ils sont li´ es par y =
x
ε
,
(ii) on assimile
1
ε
Ω ` aI R
N , de sorte que (2.34) devient pos´ ee sur l’espace tout
entier,
(iii) puis on fait usage de la p´ eriodicit´ epo s t u l ´ ee en (2.28), et on ram` ene cette
´ equation sur la seule maille Y .
Aucun de ces trois raccourcis n’est en fait ´ evident. Ils sont valid´ es par la phase
de “remont´ ee”, qui consiste en la preuve math´ ematique (que nous ne ferons
pas ici en toute g´ en´ eralit´ e, mais seulement en dimension 1) du fait que le
d´ eveloppement que nous allons trouver est en fait le bon. Dans des cadres
diff´ erents de celui de l’homog´ en´ eisation p´ eriodique avec donn´ ee de Dirichlet
au bord, ces points (i)-(ii)-(iii) peuvent poser probl` eme. Sans aller dans de tels
d´ eveloppements, il est bon de garder en tˆ ete que, structurellement, l’´ equation
(2.34) est en fait pos´ ee sur un tr` es grand domaine
3 (voire sur tout l’espace),
et que c’est seulement la p´ eriodicit´ eq u il ar a m ` ene ici ` au np r o b l ` eme pos´ es u r
une maille p´ eriodique.
Il nous reste maintenant `
ad ´ eterminer u 0 . Pour cela, on retourne au
d´ eveloppement (2.30) et ` a son terme d’ordre 0 qu’on doit donc ´ egaler ` a f
pour que (2.26) soit v´ erifi´ ee :
−div y (A(y) · (∇ x u 1 (x, y)+∇ y u 2 (x, y))) =
div x (A(y) · (∇ y u 1 (x, y)+∇ x u 0 (x))) + f, (2.37)
assorti des conditions de p´ eriodicit´ ea ub o r dd eY pour la fonction u 2 .
Remarquons alors qu’une condition n´ ecessaire (et en fait suffisante) pour
que la fonction u 2 existe et soit p´ eriodique est que l’int´ egrale du membre de
gauche sur la cellule de p´ eriodicit´ e Y soit nulle. En effet, si g est une fonction
p´ eriodique `
a valeurs vectorielles, on a
Y
div g(y) dy =
∂Y
g(y) · n =0, par p´ eriodicit´ e.
Donc l’int´ egrale du membre de droite de (2.37) est aussi nulle ce qui se traduit
par
−div x
Y
A(y) · (∇ y u 1 (x, y)+∇ x u 0 (x)) dy
= f (x)
puisque l’int´ egrale en la variable y “traverse” la d´ erivation en x.
Compte-tenu de la valeur d´ etermin´ ee (2.35) de u 1 en fonction des w i ,o n
obtient
3 Et ceci est normal car, ` al ’ ´ echelle microscopique, le domaine macroscopique est
immense !
2 Techniques d’homog´ en´ eisation
(i) on d´ esolidarise x de y, alors qu’ils sont li´ es par y =
x
ε
,
(ii) on assimile
1
ε
Ω ` aI R
N , de sorte que (2.34) devient pos´ ee sur l’espace tout
entier,
(iii) puis on fait usage de la p´ eriodicit´ epo s t u l ´ ee en (2.28), et on ram` ene cette
´ equation sur la seule maille Y .
Aucun de ces trois raccourcis n’est en fait ´ evident. Ils sont valid´ es par la phase
de “remont´ ee”, qui consiste en la preuve math´ ematique (que nous ne ferons
pas ici en toute g´ en´ eralit´ e, mais seulement en dimension 1) du fait que le
d´ eveloppement que nous allons trouver est en fait le bon. Dans des cadres
diff´ erents de celui de l’homog´ en´ eisation p´ eriodique avec donn´ ee de Dirichlet
au bord, ces points (i)-(ii)-(iii) peuvent poser probl` eme. Sans aller dans de tels
d´ eveloppements, il est bon de garder en tˆ ete que, structurellement, l’´ equation
(2.34) est en fait pos´ ee sur un tr` es grand domaine
3 (voire sur tout l’espace),
et que c’est seulement la p´ eriodicit´ eq u il ar a m ` ene ici ` au np r o b l ` eme pos´ es u r
une maille p´ eriodique.
Il nous reste maintenant `
ad ´ eterminer u 0 . Pour cela, on retourne au
d´ eveloppement (2.30) et ` a son terme d’ordre 0 qu’on doit donc ´ egaler ` a f
pour que (2.26) soit v´ erifi´ ee :
−div y (A(y) · (∇ x u 1 (x, y)+∇ y u 2 (x, y))) =
div x (A(y) · (∇ y u 1 (x, y)+∇ x u 0 (x))) + f, (2.37)
assorti des conditions de p´ eriodicit´ ea ub o r dd eY pour la fonction u 2 .
Remarquons alors qu’une condition n´ ecessaire (et en fait suffisante) pour
que la fonction u 2 existe et soit p´ eriodique est que l’int´ egrale du membre de
gauche sur la cellule de p´ eriodicit´ e Y soit nulle. En effet, si g est une fonction
p´ eriodique `
a valeurs vectorielles, on a
Y
div g(y) dy =
∂Y
g(y) · n =0, par p´ eriodicit´ e.
Donc l’int´ egrale du membre de droite de (2.37) est aussi nulle ce qui se traduit
par
−div x
Y
A(y) · (∇ y u 1 (x, y)+∇ x u 0 (x)) dy
= f (x)
puisque l’int´ egrale en la variable y “traverse” la d´ erivation en x.
Compte-tenu de la valeur d´ etermin´ ee (2.35) de u 1 en fonction des w i ,o n
obtient
3 Et ceci est normal car, ` al ’ ´ echelle microscopique, le domaine macroscopique est
immense !