2.3 Des cas plus compliqu´ es : la convergence ` ad e u x´ echelles
55
−div y (A(y) · (∇ x u 0 (x)+∇ y u 1 (x, y))) = 0.
L’´ equation v´ erifi´ ee par la fonction u 1 est donc
−div y (A(y) · (∇ x u 0 (x)+∇ y u 1 (x, y))) = 0, dans Y,
u 1
p´ eriodique au bord ∂Y.
(2.34)
Si l’on suppose connaˆ ıtre u 0 (que l’on d´ eterminera en fait dans un instant, voir
ci-dessous), la solution de cette ´ equation est en fait enti` erement d´ etermin´ ee
explicitement. Il s’agit de
u 1 (x, y)=
N
i=1
∂u 0
∂x i
(x)w i (y),
(2.35)
pour les w i fonctions solution des probl` emes dits sous-maille
−div y (A(y) · (e i + ∇ y w i (y))) = 0, dans Y,
w i
p´ eriodique au bord ∂Y.
(2.36)
o` u e i , i =1, ...N d´ esigne le i-` eme vecteur de base de IR
N .
Remarque 2.19. En fait, comme seulement la d´ eriv´ ee ∇ y u 1 (x, y) intervient
dans (2.34) et pas la fonction u 1 (x, y) elle-mˆ eme, l’´ equation `
adonn ´ ee au bord
p´ eriodique (2.34) ne d´ etermine u 1 selon (2.35) qu’` a l’addition d’une fonction
v(x) de la seule variable x pr` es (de mˆ eme dans (2.36) les w i peuvent ˆ etre
d´ ecal´ ees d’une constante en y). Mais on peut toujours supposer cette fonction
v(x) identiquement nulle, d’o` ul ad ´ efinition (2.35). Ceci ne modifie pas
2 l’expression de la matrice homog´ en´ eis´ ee A
⋆ (v(x) disparaˆ ıt imm´ ediatement dans
(2.37)) ci-dessous, et donc la valeur de u 0 .D em ˆ eme, il faut en toute rigueur
prendre en compte cette fonction dans le d´ eveloppement (2.27) si l’on cherche
` a calculer mieux que le seul ordre z´ ero en ε.O ns er e p o r t e r a` a ce sujet ` a
l’Exercice 2.27 et ` a la discussion de la Section 2.3.4.
Exercice 2.20. V´ erifier que si w i est solution de (2.36), alors u 1 donn´ ep a r
(2.35) est bien l’unique solution (` a l’addition d’une fonction de x pr` es) de
(2.34).
Remarque 2.21. L’´ equation (2.34) qui d´ efinit u 1 , et qui, on le verra, va perm e t t r ed ed ´ efinir la matrice homog´ en´ eis´ ee A
⋆ est vue ici comme une ´ equation
(param´ etr´ ee en x)d el av a r i a b l ey. Si on se souvient que y =
x
ε
, elle est
donc, en toute rigueur, pos´ ee sur le domaine
1
ε
Ω.E nl ac o n s i d ´ erant comme
param´ etr´ ee par x et pos´ ee pour y ∈ Y , on fait le triple raccourci suivant :
2 Pour le lecteur exigeant, il est bon de savoir que, dans le cas de l’homog´ en´ eisation non p´ eriodique, il n’est pas ´ evident (et il peut s’av´ erer faux) de n´ egliger
cette fonction v(x). Ici, dans le cas de l’homog´ en´ eisation p´ eriodique, on b´ en´ eficie
d’un cadre particuli` erement simple.
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−div y (A(y) · (∇ x u 0 (x)+∇ y u 1 (x, y))) = 0.
L’´ equation v´ erifi´ ee par la fonction u 1 est donc
−div y (A(y) · (∇ x u 0 (x)+∇ y u 1 (x, y))) = 0, dans Y,
u 1
p´ eriodique au bord ∂Y.
(2.34)
Si l’on suppose connaˆ ıtre u 0 (que l’on d´ eterminera en fait dans un instant, voir
ci-dessous), la solution de cette ´ equation est en fait enti` erement d´ etermin´ ee
explicitement. Il s’agit de
u 1 (x, y)=
N
i=1
∂u 0
∂x i
(x)w i (y),
(2.35)
pour les w i fonctions solution des probl` emes dits sous-maille
−div y (A(y) · (e i + ∇ y w i (y))) = 0, dans Y,
w i
p´ eriodique au bord ∂Y.
(2.36)
o` u e i , i =1, ...N d´ esigne le i-` eme vecteur de base de IR
N .
Remarque 2.19. En fait, comme seulement la d´ eriv´ ee ∇ y u 1 (x, y) intervient
dans (2.34) et pas la fonction u 1 (x, y) elle-mˆ eme, l’´ equation `
adonn ´ ee au bord
p´ eriodique (2.34) ne d´ etermine u 1 selon (2.35) qu’` a l’addition d’une fonction
v(x) de la seule variable x pr` es (de mˆ eme dans (2.36) les w i peuvent ˆ etre
d´ ecal´ ees d’une constante en y). Mais on peut toujours supposer cette fonction
v(x) identiquement nulle, d’o` ul ad ´ efinition (2.35). Ceci ne modifie pas
2 l’expression de la matrice homog´ en´ eis´ ee A
⋆ (v(x) disparaˆ ıt imm´ ediatement dans
(2.37)) ci-dessous, et donc la valeur de u 0 .D em ˆ eme, il faut en toute rigueur
prendre en compte cette fonction dans le d´ eveloppement (2.27) si l’on cherche
` a calculer mieux que le seul ordre z´ ero en ε.O ns er e p o r t e r a` a ce sujet ` a
l’Exercice 2.27 et ` a la discussion de la Section 2.3.4.
Exercice 2.20. V´ erifier que si w i est solution de (2.36), alors u 1 donn´ ep a r
(2.35) est bien l’unique solution (` a l’addition d’une fonction de x pr` es) de
(2.34).
Remarque 2.21. L’´ equation (2.34) qui d´ efinit u 1 , et qui, on le verra, va perm e t t r ed ed ´ efinir la matrice homog´ en´ eis´ ee A
⋆ est vue ici comme une ´ equation
(param´ etr´ ee en x)d el av a r i a b l ey. Si on se souvient que y =
x
ε
, elle est
donc, en toute rigueur, pos´ ee sur le domaine
1
ε
Ω.E nl ac o n s i d ´ erant comme
param´ etr´ ee par x et pos´ ee pour y ∈ Y , on fait le triple raccourci suivant :
2 Pour le lecteur exigeant, il est bon de savoir que, dans le cas de l’homog´ en´ eisation non p´ eriodique, il n’est pas ´ evident (et il peut s’av´ erer faux) de n´ egliger
cette fonction v(x). Ici, dans le cas de l’homog´ en´ eisation p´ eriodique, on b´ en´ eficie
d’un cadre particuli` erement simple.