2.7 Bibliographie
87
est l’unique valeur rendant exactement l’´ egalit´ e possible pour tout p>0. Il
est facile de voir (c’est l’objet de l’Exercice 2.48 ci-dessous) que cette valeur
est bien strictement positive, ce qui est compatible avec l’hypoth` ese faite plus
haut.
Ceci marque la fin du raisonnement par conditions n´ ecessaires. On conclut
alors de la fa¸ con suivante. On fixe β par (2.111) et ensuite α selon (2.107).
On fixe
K(t)=(
2 )exp
−
2
−
1
<
1
a >
t
.
(2.112)
On sait que la fonction Lu
⋆ , transform´ ee de Laplace de u
⋆ limite faible de u
ε ,
est donn´ ee par (2.103). Elle v´ erifie donc (2.105), puisque cette derni` ere s’´ ecrit
(2.106) et est ´ equivalente ` a (2.110). Par ailleurs, la transform´ ee de Laplace de
la solution (not´ ee momentan´ ement
9 u
0 ) de (2.98) (toujours pour α, β,e tK
fix´ es comme ci-dessus) v´ erifie aussi (2.105). L’unicit´ e´ evidente de la solution
de (2.105) permet alors d’affirmer que Lu
⋆ = Lu
0 , i.e. L(u
⋆ − u
0 ) = 0, et donc
u
⋆ = u
0 est bien solution de (2.98) pour la valeur de K donn´ ee par (2.112).
Exercice 2.47. Montrer dans le d´ etail que (2.110) est possible pour tout
p>0 si et seulement si β est donn´ e par (2.111).
Exercice 2.48. Montrer que β donn´ e par (2.111) est strictement positif. En
d´ eduire que le calcul menant de (2.98) `
a (2.106) a bien un sens.
Exercice 2.49. Montrer que si la fonction a est constante (i.e. a 1 = a 2 )alors
il n’y a pas de terme de retard dans (2.98). On retrouve alors la situation
“miraculeuse” de (2.97).
2.7 Bibliographie
La th´ eorie de l’homog´ en´ eisation dont on a montr´ e le B.A.BA et la convergence ` ad e u x´ echelles peuvent ˆ etre lues dans le premier chapitre du livre G.
Allaire [3], dans le livre d’E. Sanchez-Palencia [70], et dans F. Murat et L.
Tartar [60], ces deux derniers auteurs ´ etant deux des “p` eres fondateurs” de
cette th´ eorie. La convergence ` ad e u x´ echelles, initialement introduite dans
[61], peut ˆ e t r el u ep o u rl ec a sp ´ eriodique dans l’article G. Allaire [4]. Pour la
Proposition 2.16, et d’autres points de ce chapitre, on renvoie aussi au livre
de V.V. Zhikov, S.M. Kozlov, O.A. Olejnik [84].
Pour les m´ ethodes multi´ echelles de la Section 2.4, on renvoie ` a Hou,
Thomas Y. ; Wu, Xiao-Hui [46], A.M. Matache et Ch. Schwab [57], Ch.
9 on admet que cette solution existe pour v suffisamment r´ eguli` ere, ce qui peut
ˆ etre montr´ e soit directement, soit en utilisant pr´ ecis´ ement la transform´ ee de Laplace
inverse de Lu
⋆
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est l’unique valeur rendant exactement l’´ egalit´ e possible pour tout p>0. Il
est facile de voir (c’est l’objet de l’Exercice 2.48 ci-dessous) que cette valeur
est bien strictement positive, ce qui est compatible avec l’hypoth` ese faite plus
haut.
Ceci marque la fin du raisonnement par conditions n´ ecessaires. On conclut
alors de la fa¸ con suivante. On fixe β par (2.111) et ensuite α selon (2.107).
On fixe
K(t)=(
2 )exp
−
2
−
1
<
1
a >
t
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(2.112)
On sait que la fonction Lu
⋆ , transform´ ee de Laplace de u
⋆ limite faible de u
ε ,
est donn´ ee par (2.103). Elle v´ erifie donc (2.105), puisque cette derni` ere s’´ ecrit
(2.106) et est ´ equivalente ` a (2.110). Par ailleurs, la transform´ ee de Laplace de
la solution (not´ ee momentan´ ement
9 u
0 ) de (2.98) (toujours pour α, β,e tK
fix´ es comme ci-dessus) v´ erifie aussi (2.105). L’unicit´ e´ evidente de la solution
de (2.105) permet alors d’affirmer que Lu
⋆ = Lu
0 , i.e. L(u
⋆ − u
0 ) = 0, et donc
u
⋆ = u
0 est bien solution de (2.98) pour la valeur de K donn´ ee par (2.112).
Exercice 2.47. Montrer dans le d´ etail que (2.110) est possible pour tout
p>0 si et seulement si β est donn´ e par (2.111).
Exercice 2.48. Montrer que β donn´ e par (2.111) est strictement positif. En
d´ eduire que le calcul menant de (2.98) `
a (2.106) a bien un sens.
Exercice 2.49. Montrer que si la fonction a est constante (i.e. a 1 = a 2 )alors
il n’y a pas de terme de retard dans (2.98). On retrouve alors la situation
“miraculeuse” de (2.97).
2.7 Bibliographie
La th´ eorie de l’homog´ en´ eisation dont on a montr´ e le B.A.BA et la convergence ` ad e u x´ echelles peuvent ˆ etre lues dans le premier chapitre du livre G.
Allaire [3], dans le livre d’E. Sanchez-Palencia [70], et dans F. Murat et L.
Tartar [60], ces deux derniers auteurs ´ etant deux des “p` eres fondateurs” de
cette th´ eorie. La convergence ` ad e u x´ echelles, initialement introduite dans
[61], peut ˆ e t r el u ep o u rl ec a sp ´ eriodique dans l’article G. Allaire [4]. Pour la
Proposition 2.16, et d’autres points de ce chapitre, on renvoie aussi au livre
de V.V. Zhikov, S.M. Kozlov, O.A. Olejnik [84].
Pour les m´ ethodes multi´ echelles de la Section 2.4, on renvoie ` a Hou,
Thomas Y. ; Wu, Xiao-Hui [46], A.M. Matache et Ch. Schwab [57], Ch.
9 on admet que cette solution existe pour v suffisamment r´ eguli` ere, ce qui peut
ˆ etre montr´ e soit directement, soit en utilisant pr´ ecis´ ement la transform´ ee de Laplace
inverse de Lu
⋆