VI
Pr´ eface
cas des sch´ emas implicites pour les syst` emes d’´ equations diff´ erentielles
raides que nous verrons au Chapitre 5,
– 2 - effectuer un pr´ etraitement du syst` eme visant ` a faire disparaˆ ıtre les
petites ´ echelles pour ne laisser ` a simuler que les grandes ; un exemple
est la th´ eorie et la pratique de l’homog´ en´ eisation que nous pr´ esenterons
au Chapitre 2 ; un autre celui de la dynamique adiabatique pour les
syst` emes mol´ eculaires au Chapitre 3 (li´ e` a l’exemple de la r´ eduction de
syst` emes dynamiques au Chapitre 5)
– 3 - choisir de g´ erer conjointement, mais de fa¸ cons diff´ erentes, les petites
et les grandes ´ echelles dans le syst` eme ; il en va ainsi de la m´ ecanique
pour les mat´ eriaux `
a microstructure, qu’ils soient solides et nous les
verrons au Chapitre 1, ou fluides, et nous les aborderons au Chapitre 4.
Ce qui motive le choix d’une strat´ egie est comme d’habitude un compromis. Mais, encore sch´ ematiquement, on pourrait dire que c’est aussi la
disproportion entre les ´ echelles petites et grandes qui contribue grandement
` al ad ´ ecision. Pour un probl` eme o` ul e s´ echelles sont franchement s´ epar´ ees, de
plusieurs ordres de grandeur au besoin, tout plaide pour la strat´ egie 2, mais
la 3 peut aussi convenir. La premi` ere n’est pas conseill´ ee. Pour les probl` emes
o` u la disproportion n’est pas si grande, l’approche 1 est possible, mais les
approches 2 et 3 pourront aussi ˆ etre envisag´ ees.
Le lecteur pourra se faire lui-mˆ eme son opinion sur certains cas pratiques
apr` es la lecture de ce document. Parcourons-le rapidement.
Le Chapitre 1 pr´ esente une strat´ egie permettant de coupler, pour la simulation de la d´ eformation d’un corps solide, une description microscopique de
la d´ eformation du mat´ eriau dans les r´ egions tr` es fortement d´ eform´ ees, avec
une description plus classique en termes de m´ ecanique des milieux continus
en d’autres zones du mat´ eriau. On manipulera dans ce chapitre les ´ equations
de l’´ elasticit´ e
⎧
⎨
⎩
−div T = f, dans le mat´ eriau
T · n = g, sur son bord
(0.1)
o` u T d´ esigne le tenseur des contraintes mais aussi une description atomique
des solides. Une logique de changement d’´ echelle sera aussi abord´ ee, donnant
ainsi un exemple d’un cas o` u le niveau microscopique va nourrir le niveau
macroscopique en lui fournissant une information.
Le Chapitre 2 est le plus math´ ematique de tous. On y expliquera les
techniques d’homog´ en´ eisation d’abord sur le plan de l’analyse math´ ematique,
puis sur le plan de sa pratique num´ erique. L’exemple canonique est celui de
l’´ equation
−
d
dx
(a(
x
ε
)
d
dx
u
ε )=f,
(0.2)
o` ul af o n c t i o na(
x
ε
) est une fonction p´ eriodique de petite p´ eriode ε. Plutˆ ot
que d’attaquer la r´ esolution de cette ´ equation, on va chercher l’´ equation limite
Pr´ eface
cas des sch´ emas implicites pour les syst` emes d’´ equations diff´ erentielles
raides que nous verrons au Chapitre 5,
– 2 - effectuer un pr´ etraitement du syst` eme visant ` a faire disparaˆ ıtre les
petites ´ echelles pour ne laisser ` a simuler que les grandes ; un exemple
est la th´ eorie et la pratique de l’homog´ en´ eisation que nous pr´ esenterons
au Chapitre 2 ; un autre celui de la dynamique adiabatique pour les
syst` emes mol´ eculaires au Chapitre 3 (li´ e` a l’exemple de la r´ eduction de
syst` emes dynamiques au Chapitre 5)
– 3 - choisir de g´ erer conjointement, mais de fa¸ cons diff´ erentes, les petites
et les grandes ´ echelles dans le syst` eme ; il en va ainsi de la m´ ecanique
pour les mat´ eriaux `
a microstructure, qu’ils soient solides et nous les
verrons au Chapitre 1, ou fluides, et nous les aborderons au Chapitre 4.
Ce qui motive le choix d’une strat´ egie est comme d’habitude un compromis. Mais, encore sch´ ematiquement, on pourrait dire que c’est aussi la
disproportion entre les ´ echelles petites et grandes qui contribue grandement
` al ad ´ ecision. Pour un probl` eme o` ul e s´ echelles sont franchement s´ epar´ ees, de
plusieurs ordres de grandeur au besoin, tout plaide pour la strat´ egie 2, mais
la 3 peut aussi convenir. La premi` ere n’est pas conseill´ ee. Pour les probl` emes
o` u la disproportion n’est pas si grande, l’approche 1 est possible, mais les
approches 2 et 3 pourront aussi ˆ etre envisag´ ees.
Le lecteur pourra se faire lui-mˆ eme son opinion sur certains cas pratiques
apr` es la lecture de ce document. Parcourons-le rapidement.
Le Chapitre 1 pr´ esente une strat´ egie permettant de coupler, pour la simulation de la d´ eformation d’un corps solide, une description microscopique de
la d´ eformation du mat´ eriau dans les r´ egions tr` es fortement d´ eform´ ees, avec
une description plus classique en termes de m´ ecanique des milieux continus
en d’autres zones du mat´ eriau. On manipulera dans ce chapitre les ´ equations
de l’´ elasticit´ e
⎧
⎨
⎩
−div T = f, dans le mat´ eriau
T · n = g, sur son bord
(0.1)
o` u T d´ esigne le tenseur des contraintes mais aussi une description atomique
des solides. Une logique de changement d’´ echelle sera aussi abord´ ee, donnant
ainsi un exemple d’un cas o` u le niveau microscopique va nourrir le niveau
macroscopique en lui fournissant une information.
Le Chapitre 2 est le plus math´ ematique de tous. On y expliquera les
techniques d’homog´ en´ eisation d’abord sur le plan de l’analyse math´ ematique,
puis sur le plan de sa pratique num´ erique. L’exemple canonique est celui de
l’´ equation
−
d
dx
(a(
x
ε
)
d
dx
u
ε )=f,
(0.2)
o` ul af o n c t i o na(
x
ε
) est une fonction p´ eriodique de petite p´ eriode ε. Plutˆ ot
que d’attaquer la r´ esolution de cette ´ equation, on va chercher l’´ equation limite