Pr´ eface
VII
obtenue quand ε −→ 0e tr ´ esoudre cette ´ equation limite. On d´ etaillera cette
strat´ egie, et on l’appliquera ensuite non seulement `
a une ´ equation, mais aussi
aux conditions aux bords d’une ´ equation, abordant ainsi le traitement des
couches limites (en thermique, en turbulence,...).
Au Chapitre 3, on traite des syst` emes mol´ eculaires mod´ elis´ es par la chimie
quantique. Les objets qu’on manipule sont des ´ electrons (l´ egers et rapides) et
des noyaux (lourds et lents). Comprendre comment l’´ equation de Schr¨ odinger
i
∂
∂t
Ψ = HΨ,
(0.3)
tr` es belle mais non traitable dans la pratique num´ erique, peut ˆ etre remplac´ ee par une de ses approximations plus abordable num´ eriquement, sera
le coeur du d´ ebat. On verra aussi dans ce chapitre comment mod´ eliser et simuler un syst` eme mol´ eculaire en phase condens´ ee, ce qui est un autre type de
probl` eme multi´ echelle, et un autre genre de traitement coupl´ ededeux´ echelles
diff´ erentes.
Le Chapitre 4 pr´ esentera la mod´ elisation des fluides polym´ eriques par les
m´ ethodes dites micro-macro, dans l’esprit du Chapitre 1. En chaque point du
fluide, dont l’´ evolution est r´ egie par les ´ equations de la m´ ecanique des fluides
comme l’´ equation de Navier-Stokes, on calcule le tenseur des contraintes en
tenant compte de la pr´ esence des millions de chaˆ ınes polym´ eriques qui sont
tendues, distordues, cass´ ees ` al ’ ´ echelle microscopique par le bombardement
mol´ eculaire et les effets des d´ eformations macroscopiques. Les techniques
num´ eriques allieront des techniques d´ eterministes et des techniques de la
th´ eorie des probabilit´ es.
Le Chapitre 5 introduit aux techniques de simulation pour la cin´ etique
chimique, qu’on rencontre par exemple dans la mod´ elisation en g´ enie chimique,
ou dans la m´ et´ eorologie. Les syst` emes en jeu sont par exemple
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dy 1
dt
= −k 1 y 1 +k 2 y 2
dy 2
dt
= k 1 y 1 −k 2 y 2 +k 3 y 3
dy 3
dt
=
−k 3 y 3
(0.4)
avec des constantes de r´ eaction k i tr` es diff´ erentes. On pr´ esentera les rudiments
de simulation num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires, juste ceux
n´ ecessaires pour aborder la simulation des syst` emes multi´ echelles dits raides
dans ce contexte. On parlera donc de m´ ethodes de d´ ecomposition d’op´ erateurs
et de r´ eductions de syst` emes dynamiques.
Enfin, un court sixi` eme chapitre donne une vision synth´ etique du travail
effectu´ e et ouvre vers le monde de la recherche.
Ce cours a ´ et´ e enseign´ e` a partir de l’ann´ ee scolaire 2001-2002 aux ´ el` eves de
troisi` eme ann´ ee de l’Ecole Polytechnique au sein de la majeure consacr´ ee aux
VII
obtenue quand ε −→ 0e tr ´ esoudre cette ´ equation limite. On d´ etaillera cette
strat´ egie, et on l’appliquera ensuite non seulement `
a une ´ equation, mais aussi
aux conditions aux bords d’une ´ equation, abordant ainsi le traitement des
couches limites (en thermique, en turbulence,...).
Au Chapitre 3, on traite des syst` emes mol´ eculaires mod´ elis´ es par la chimie
quantique. Les objets qu’on manipule sont des ´ electrons (l´ egers et rapides) et
des noyaux (lourds et lents). Comprendre comment l’´ equation de Schr¨ odinger
i
∂
∂t
Ψ = HΨ,
(0.3)
tr` es belle mais non traitable dans la pratique num´ erique, peut ˆ etre remplac´ ee par une de ses approximations plus abordable num´ eriquement, sera
le coeur du d´ ebat. On verra aussi dans ce chapitre comment mod´ eliser et simuler un syst` eme mol´ eculaire en phase condens´ ee, ce qui est un autre type de
probl` eme multi´ echelle, et un autre genre de traitement coupl´ ededeux´ echelles
diff´ erentes.
Le Chapitre 4 pr´ esentera la mod´ elisation des fluides polym´ eriques par les
m´ ethodes dites micro-macro, dans l’esprit du Chapitre 1. En chaque point du
fluide, dont l’´ evolution est r´ egie par les ´ equations de la m´ ecanique des fluides
comme l’´ equation de Navier-Stokes, on calcule le tenseur des contraintes en
tenant compte de la pr´ esence des millions de chaˆ ınes polym´ eriques qui sont
tendues, distordues, cass´ ees ` al ’ ´ echelle microscopique par le bombardement
mol´ eculaire et les effets des d´ eformations macroscopiques. Les techniques
num´ eriques allieront des techniques d´ eterministes et des techniques de la
th´ eorie des probabilit´ es.
Le Chapitre 5 introduit aux techniques de simulation pour la cin´ etique
chimique, qu’on rencontre par exemple dans la mod´ elisation en g´ enie chimique,
ou dans la m´ et´ eorologie. Les syst` emes en jeu sont par exemple
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dy 1
dt
= −k 1 y 1 +k 2 y 2
dy 2
dt
= k 1 y 1 −k 2 y 2 +k 3 y 3
dy 3
dt
=
−k 3 y 3
(0.4)
avec des constantes de r´ eaction k i tr` es diff´ erentes. On pr´ esentera les rudiments
de simulation num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires, juste ceux
n´ ecessaires pour aborder la simulation des syst` emes multi´ echelles dits raides
dans ce contexte. On parlera donc de m´ ethodes de d´ ecomposition d’op´ erateurs
et de r´ eductions de syst` emes dynamiques.
Enfin, un court sixi` eme chapitre donne une vision synth´ etique du travail
effectu´ e et ouvre vers le monde de la recherche.
Ce cours a ´ et´ e enseign´ e` a partir de l’ann´ ee scolaire 2001-2002 aux ´ el` eves de
troisi` eme ann´ ee de l’Ecole Polytechnique au sein de la majeure consacr´ ee aux