2.3 Des cas plus compliqu´ es : la convergence ` ad e u x´ echelles
53
explicite, ou en d’autres termes d’´ ecrire le probl` eme homog´ en´ eis´ e. Nous allons regarder une strat´ egie typique pour une telle situation, celle dite de la
convergence ` adeux´ echelles, que nous mettrons en oeuvre sur le cas particulier
p´ eriodique.
Consid´ erons un ouvert r´ egulier Ω de IR
N , et une matrice sym´ etrique A
carr´ ee de taille N qui est suppos´ ee avoir ses coefficients born´ es et p´ eriodiques
au sens o` ul af o n c t i o ny −→ A(y) est une fonction p´ eriodique de cellule de
p´ eriodicit´ e Y =[ 0 , 1]
N . Comme d’habitude, nous supposons que A v´ erifie la
propri´ et´ e (dite de coercivit´ e)( A(y)z, z) ≥ cz
2 pour une certaine constante
c>0n ed ´ ependant pas de z ∈ IR
N et de y ∈ Y . Pour une fonction f
appartenant disons `
a L
2 (Ω), nous voulons r´ esoudre
−div (A(
x
ε ) ·∇u
ε )=f, dans Ω,
u
ε =0 , sur ∂Ω,
(2.26)
o` u ε est une petite constante. Plutˆ ot que d’attaquer directement la r´ esolution
num´ erique de (2.26) qui pourrait coˆ uter trop cher, nous nous proposons comme
ci-dessus de d´ eterminer un probl` eme dont la r´ esolution donnera une bonne id´ ee
de la solution u
ε de (2.26) pour ε petit.
2.3.1 L’Ansatz et le d´ eveloppement ` ad e u x´ echelles
Pour cela, nous commen¸ cons par postuler une forme de u
ε (en analyse
num´ erique comme en physique, un tel postulat s’appelle parfois un Ansatz ).
Il s’agit d’´ ecrire u
ε comme le d´ eveloppement en ε suivant :
u
ε (x)=u 0 (x,
x
ε
)+εu 1 (x,
x
ε
)+ε
2 u 2 (x,
x
ε
)+...,
(2.27)
o` ulafonctionu k apparaissant `
a l’ordre k en ε a´ et´ esuppos´ ee d´ ependre de deux
variables, l’une macroscopique x, l’autre microscopique
x
ε
. Cette fonction est
de plus suppos´ ee ˆ etre p´ eriodique de sa seconde variable y =
x
ε
, c’est-` a-dire
y −→ u k (x, y) est p´ eriodique de cellule Y =[0, 1]
N .
(2.28)
Tout se passe comme si en chaque point macroscopique x on avait une modulation de la fonction u k (x, ·) due aux petites ´ echelles pr´ esentes dans le probl` eme
au point x et repr´ esent´ ees par la partie u k (·,
x
ε )d el af o n c t i o nu k (penser
par exemple, mais pas seulement, ` a un produit f (x)g(
x
ε )). Injectons alors
cette forme de fonction u
ε dans le probl` eme (2.26) pour voir les conditions
n´ ecessairement v´ erifi´ ees par les fonctions u k . Le calcul est un peu fastidieux,
mais sans difficult´ e. On ne devra pas oublier que, par la r` egle de d´ erivation
des fonctions compos´ ees, quand on calcule le gradient de v(x,
x
ε
), on a en fait :
∇
v(x,
x
ε
)
=(∇ x v)(x, y)+
1
ε
(∇ y v)(x, y), o` u y =
x
ε
,
(2.29)
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explicite, ou en d’autres termes d’´ ecrire le probl` eme homog´ en´ eis´ e. Nous allons regarder une strat´ egie typique pour une telle situation, celle dite de la
convergence ` adeux´ echelles, que nous mettrons en oeuvre sur le cas particulier
p´ eriodique.
Consid´ erons un ouvert r´ egulier Ω de IR
N , et une matrice sym´ etrique A
carr´ ee de taille N qui est suppos´ ee avoir ses coefficients born´ es et p´ eriodiques
au sens o` ul af o n c t i o ny −→ A(y) est une fonction p´ eriodique de cellule de
p´ eriodicit´ e Y =[ 0 , 1]
N . Comme d’habitude, nous supposons que A v´ erifie la
propri´ et´ e (dite de coercivit´ e)( A(y)z, z) ≥ cz
2 pour une certaine constante
c>0n ed ´ ependant pas de z ∈ IR
N et de y ∈ Y . Pour une fonction f
appartenant disons `
a L
2 (Ω), nous voulons r´ esoudre
−div (A(
x
ε ) ·∇u
ε )=f, dans Ω,
u
ε =0 , sur ∂Ω,
(2.26)
o` u ε est une petite constante. Plutˆ ot que d’attaquer directement la r´ esolution
num´ erique de (2.26) qui pourrait coˆ uter trop cher, nous nous proposons comme
ci-dessus de d´ eterminer un probl` eme dont la r´ esolution donnera une bonne id´ ee
de la solution u
ε de (2.26) pour ε petit.
2.3.1 L’Ansatz et le d´ eveloppement ` ad e u x´ echelles
Pour cela, nous commen¸ cons par postuler une forme de u
ε (en analyse
num´ erique comme en physique, un tel postulat s’appelle parfois un Ansatz ).
Il s’agit d’´ ecrire u
ε comme le d´ eveloppement en ε suivant :
u
ε (x)=u 0 (x,
x
ε
)+εu 1 (x,
x
ε
)+ε
2 u 2 (x,
x
ε
)+...,
(2.27)
o` ulafonctionu k apparaissant `
a l’ordre k en ε a´ et´ esuppos´ ee d´ ependre de deux
variables, l’une macroscopique x, l’autre microscopique
x
ε
. Cette fonction est
de plus suppos´ ee ˆ etre p´ eriodique de sa seconde variable y =
x
ε
, c’est-` a-dire
y −→ u k (x, y) est p´ eriodique de cellule Y =[0, 1]
N .
(2.28)
Tout se passe comme si en chaque point macroscopique x on avait une modulation de la fonction u k (x, ·) due aux petites ´ echelles pr´ esentes dans le probl` eme
au point x et repr´ esent´ ees par la partie u k (·,
x
ε )d el af o n c t i o nu k (penser
par exemple, mais pas seulement, ` a un produit f (x)g(
x
ε )). Injectons alors
cette forme de fonction u
ε dans le probl` eme (2.26) pour voir les conditions
n´ ecessairement v´ erifi´ ees par les fonctions u k . Le calcul est un peu fastidieux,
mais sans difficult´ e. On ne devra pas oublier que, par la r` egle de d´ erivation
des fonctions compos´ ees, quand on calcule le gradient de v(x,
x
ε
), on a en fait :
∇
v(x,
x
ε
)
=(∇ x v)(x, y)+
1
ε
(∇ y v)(x, y), o` u y =
x
ε
,
(2.29)