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2 Techniques d’homog´ en´ eisation
A
⋆== αβ < v(σ(x)) >.
Donc
A
⋆= αβ(A
⋆ )
−1
= αβ(A
⋆ )
−1 car σ ne change pas la moyenne.
On a donc obtenu A
⋆ λ = αβ(A
⋆ )
−1 λ pour tout λ ∈ IR
2 ,c eq u ii m p o s e
A
⋆ = αβ(A
⋆ )
−1 ,
ce qui pour une matrice v´ erifiant (A
⋆ x, x) ≥ c 1 x
2 pour tout x et c 1 > 0,
impose A
⋆ =
√
αβId.
♦
Remarque 2.17. On notera dans la preuve ci-dessus que la d´ etermination de
A
⋆ requiert, d’apr` es la formule (2.25), deux calculs : pour =( 1 , 0) et
=(0, 1) (les deux vecteurs de base de IR
2 ), on doit d´ eterminer A
⋆.
En fait, `
acauseicidelag ´ eom´ etrie particuli` ere du probl` eme, la seconde partie
de la preuve montre que ces deux calculs sont inutiles, et peuvent ˆ etre ´ evit´ es
par un petit raisonnement. Dans les cas plus complexes que nous verrons
ci-dessous, on retrouvera le fait qu’il faut pour d´ eterminer A
⋆ ,a u t a n td e
calculs que de dimensions. Et dans ces cas plus compliqu´ es, il n’y aura pas de
“seconde partie de preuve”, bas´ ee sur une g´ eom´ etrie particuli` ere, pour nous
faire ´ economiser ces calculs.
Remarque 2.18. Le cas ci-dessus, qui est un authentique cas bi-dimensionnel
en comparaison du cas lamell´ evupr ´ ec´ edemment, montre qu’` apartirdeladimension 2, la g´ eom´ etrie entre en jeu. En dimension 1, seule la proportion des
mat´ eriaux compte (penser au calcul de <
1
a
>), peu importe la mani` ere dont
ils sont r´ epartis. Ici, ce n’est plus le cas : le mat´ eriau lamell´ eetlemat ´ eriau en
´ echiquier peuvent ˆ etre compos´ es des mˆ emes mat´ eriaux en mˆ eme proportion,
ils ne conduisent pas `
al am ˆ eme matrice homog´ en´ eis´ ee et donc au mˆ eme comportement macroscopique. Cela donne naissance `
a une question int´ eressante,
` a laquelle des recherches sont consacr´ ees : ´ etant donn´ ee une proportion de
mat´ eriaux constitutifs fix´ ee, quelles sont les matrices homog´ en´ eis´ ees qu’on
peut obtenir, en faisant varier la r´ epartition g´ eom´ etrique de ces mat´ eriaux.
2.3 Des cas plus compliqu´ es : la convergence ` ad e u x
´ echelles
Jusqu’` a maintenant, la d´ etermination de l’´ equation homog´ en´ eis´ ee a pu se faire
“simplement”. En fait, rares sont de tels cas. Dans la plupart des situations, la
matrice homog´ en´ eis´ ee ne s’exprime pas aussi simplement. Bien que l’on sache
son existence, par la Proposition 2.12, il reste `
al ad ´ eterminer de mani` ere
2 Techniques d’homog´ en´ eisation
A
⋆
Donc
A
⋆
⋆ )
−1
= αβ(A
⋆ )
−1
On a donc obtenu A
⋆ λ = αβ(A
⋆ )
−1 λ pour tout λ ∈ IR
2 ,c eq u ii m p o s e
A
⋆ = αβ(A
⋆ )
−1 ,
ce qui pour une matrice v´ erifiant (A
⋆ x, x) ≥ c 1 x
2 pour tout x et c 1 > 0,
impose A
⋆ =
√
αβId.
♦
Remarque 2.17. On notera dans la preuve ci-dessus que la d´ etermination de
A
⋆ requiert, d’apr` es la formule (2.25), deux calculs : pour
2 ), on doit d´ eterminer A
⋆
En fait, `
acauseicidelag ´ eom´ etrie particuli` ere du probl` eme, la seconde partie
de la preuve montre que ces deux calculs sont inutiles, et peuvent ˆ etre ´ evit´ es
par un petit raisonnement. Dans les cas plus complexes que nous verrons
ci-dessous, on retrouvera le fait qu’il faut pour d´ eterminer A
⋆ ,a u t a n td e
calculs que de dimensions. Et dans ces cas plus compliqu´ es, il n’y aura pas de
“seconde partie de preuve”, bas´ ee sur une g´ eom´ etrie particuli` ere, pour nous
faire ´ economiser ces calculs.
Remarque 2.18. Le cas ci-dessus, qui est un authentique cas bi-dimensionnel
en comparaison du cas lamell´ evupr ´ ec´ edemment, montre qu’` apartirdeladimension 2, la g´ eom´ etrie entre en jeu. En dimension 1, seule la proportion des
mat´ eriaux compte (penser au calcul de <
1
a
>), peu importe la mani` ere dont
ils sont r´ epartis. Ici, ce n’est plus le cas : le mat´ eriau lamell´ eetlemat ´ eriau en
´ echiquier peuvent ˆ etre compos´ es des mˆ emes mat´ eriaux en mˆ eme proportion,
ils ne conduisent pas `
al am ˆ eme matrice homog´ en´ eis´ ee et donc au mˆ eme comportement macroscopique. Cela donne naissance `
a une question int´ eressante,
` a laquelle des recherches sont consacr´ ees : ´ etant donn´ ee une proportion de
mat´ eriaux constitutifs fix´ ee, quelles sont les matrices homog´ en´ eis´ ees qu’on
peut obtenir, en faisant varier la r´ epartition g´ eom´ etrique de ces mat´ eriaux.
2.3 Des cas plus compliqu´ es : la convergence ` ad e u x
´ echelles
Jusqu’` a maintenant, la d´ etermination de l’´ equation homog´ en´ eis´ ee a pu se faire
“simplement”. En fait, rares sont de tels cas. Dans la plupart des situations, la
matrice homog´ en´ eis´ ee ne s’exprime pas aussi simplement. Bien que l’on sache
son existence, par la Proposition 2.12, il reste `
al ad ´ eterminer de mani` ere