2.2 Deux cas bidimensionnels
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Preuve de la Proposition 2.16 :
Il est clair que la matrice A
ε que nous avons construite remplit les conditions de la Proposition 2.12. Il existe donc une matrice homog´ en´ eis´ ee A
⋆ ,e t
il s’agit maintenant de la d´ eterminer.
Soit λ ∈ IR
2 et soit u une fonction de H
1 (Q)v ´ erifiant les conditions
p´ eriodiques au bord de Q et −div (A∇u)=d i v( Aλ), o` u A est bien sˆ ur la
matrice A
ε pour ε = 1. Notons v = ∇u + λ, qui est donc aussi p´ eriodique. On
notera que = λ car < ∇u>= 0 puisque u est p´ eriodique.
Commen¸ cons par montrer que n´ ecessairement
A
⋆ =.
(2.25)
Pour cela, on consid` ere la suite u
ε =(λ, x)+εu(
x
ε ). En appliquant la Proposition 2.1, on sait que ∇u
ε (x)=v(
x
ε ) converge faiblement vers dans
L
2 (Q). De mˆ eme, u(
x
ε ) converge faiblement vers dans L
2 (Q), d’o` u u
ε
converge faiblement vers u 0 (x)=( λ, x)d a n sH
1 (Q). En utilisant le fait que
−div (A
ε ∇u
ε )=−div (A
ε v(
x
ε )) = 0 et le Lemme 2.14, on sait que A
ε ∇u
ε
converge faiblement vers A
⋆ ∇u 0 = A
⋆ λ = A
⋆ . D’autre part, en appliquant directement la Proposition 2.1 `
al af o n c t i o np ´ eriodique Av on sait
que A
ε ∇u
ε =( Av)(
x
ε ) converge faiblement vers . On a donc l’´ egalit´ e
(2.25).
Revenons maintenant `
al am a t r i c eA particuli` ere que nous avons choisie
et qui mod´ elise la structure en ´ echiquier. Si on note σ la rotation d’angle π/2
dans le plan, il est clair que l’on a
A(x)A ◦ σ(x)=αβ Id.
On peut donc ´ ecrire
A ◦ σ(x)v(σ(x)) = αβ(A(x))
−1 v(σ(x)).
On ´ ecrit alors
A
⋆ = en vertu de (2.25)
= < (Av) ◦ σ(x) > car σ ne change pas la moyenne
Or
div (A(x)(A(σ(x))v(σ(x)))) = αβdiv (v(σ(x))) = αβdiv (∇u(σ(x))) = 0,
et
rot (A(σ(x))v(σ(x))) = div (A(x)v(x)) = 0,
par un calcul simple (exploitant le fait que l’on travaille en dimension 2 )donc
la fonction w(x)=A(σ(x))v(σ(x)) peut s’´ ecrire w(x)=∇h(x)+ o` u h
est p´ eriodique et v´ erifie div (Aw) = 0. Donc la relation (2.25) ´ etablie ci-dessus
pour v peut s’appliquer aussi `
a w pour avoir :