2.2 Deux cas bidimensionnels
49
Il est tout `
a fait essentiel de bien comprendre la port´ ee (th´ eorique) de ce
r´ esultat :
– • le premier point est que la matrice A
⋆ et la sous suite ε
′ ne d´ ependent
pas du second membre f de l’´ equation. En un sens m´ ecanique, cela
dit qu’il existe un mat´ eriau ´ equivalent (on dit homog´ en´ eis´ e)e tq u e
ce mat´ eriau est le mˆ eme quel que soit le chargement que le mat´ eriau
de d´ epart subit. On a bien observ´ e cette propri´ et´ es u rl e sd e u xc a s
pr´ ec´ edents o` ul am a t r i c eh o m o g ´ en´ eis´ ee ne d´ epend que des moyennes de
a ou
1
a
et de rien d’autre (cf. la Remarque 2.7).
– • le second point est que l’important n’est pas qu’il existe une limite `
a
la suite de solution u
ε , mais que cette limite soit solution d’une ´ equation
de mˆ eme type que celle de d´ epart !
En revanche, le “gros d´ efaut” de ce r´ esultat th´ eorique est que tout en affirmant qu’il existe une matrice homog´ en´ eis´ ee A
⋆ , il ne fournit pas l’expression
explicite de cette matrice, et a fortiori l’expression de la limite u
⋆ . Comme
nous le verrons plus loin (dans la Section 2.3.4), on peut en fait compl´ eter
ce r´ esultat par un autre, qui pr´ ecisera un peu plus qui est A
⋆ , mais pas au
point d’en obtenir une expression aussi explicite que rˆ ev´ ee. Pour le moment,
seule la consid´ eration de cas tr` es particuliers (` a la Section suivante) va nous
permettre de trouver explicitement A
⋆ et u
⋆ .D em ˆ eme, l’application d’une
technique compl´ ementaire (dite de la convergence ` ad e u x´ echelles) nous permettra dans le cas “g´ en´ eral” p´ eriodique (` a la Section 2.3) de quantifier A
⋆
et u
⋆ .
Exercice 2.13. En ´ echo ` a la Remarque 2.4, montrer que la Proposition 2.3
est compatible avec le r´ esultat g´ en´ eral de la Proposition 2.12. En particulier,
v´ erifier que toutes les convergences de l’´ enonc´ e de la Proposition 2.12 ont bien
lieu dans le cadre de la Proposition 2.3.
Une autre remarque est la suivante : en fait les conditions aux limites (ici on
a pris les solutions u
ε dans H
1
0 ) ne jouent pas de rˆ ole. Ainsi, on a
Lemme 2.14. Dans les conditions de la proposition pr´ ec´ edente, si on a une
fonction f ∈ H
−1 (Ω) et une suite de fonctions de H
1 (Ω), not´ ee v
ε
′ telle que
−div A
ε
′ ∇v
ε
′ = f
et
v
ε
′ ⇀vdans H
1 (Ω),
alors
A
ε
′ ∇v
ε
′ ⇀A
⋆ ∇v dans L
2 (Ω), et donc − div A
⋆ ∇v = f.
Remarque 2.15. Bien sˆ ur, ajoutons aussi le commentaire que la Proposition 2.12 et le Lemme 2.14 d´ epassent largement le cadre p´ eriodique que nous
manipulerons ici par souci de simplicit´ e.
49
Il est tout `
a fait essentiel de bien comprendre la port´ ee (th´ eorique) de ce
r´ esultat :
– • le premier point est que la matrice A
⋆ et la sous suite ε
′ ne d´ ependent
pas du second membre f de l’´ equation. En un sens m´ ecanique, cela
dit qu’il existe un mat´ eriau ´ equivalent (on dit homog´ en´ eis´ e)e tq u e
ce mat´ eriau est le mˆ eme quel que soit le chargement que le mat´ eriau
de d´ epart subit. On a bien observ´ e cette propri´ et´ es u rl e sd e u xc a s
pr´ ec´ edents o` ul am a t r i c eh o m o g ´ en´ eis´ ee ne d´ epend que des moyennes de
a ou
1
a
et de rien d’autre (cf. la Remarque 2.7).
– • le second point est que l’important n’est pas qu’il existe une limite `
a
la suite de solution u
ε , mais que cette limite soit solution d’une ´ equation
de mˆ eme type que celle de d´ epart !
En revanche, le “gros d´ efaut” de ce r´ esultat th´ eorique est que tout en affirmant qu’il existe une matrice homog´ en´ eis´ ee A
⋆ , il ne fournit pas l’expression
explicite de cette matrice, et a fortiori l’expression de la limite u
⋆ . Comme
nous le verrons plus loin (dans la Section 2.3.4), on peut en fait compl´ eter
ce r´ esultat par un autre, qui pr´ ecisera un peu plus qui est A
⋆ , mais pas au
point d’en obtenir une expression aussi explicite que rˆ ev´ ee. Pour le moment,
seule la consid´ eration de cas tr` es particuliers (` a la Section suivante) va nous
permettre de trouver explicitement A
⋆ et u
⋆ .D em ˆ eme, l’application d’une
technique compl´ ementaire (dite de la convergence ` ad e u x´ echelles) nous permettra dans le cas “g´ en´ eral” p´ eriodique (` a la Section 2.3) de quantifier A
⋆
et u
⋆ .
Exercice 2.13. En ´ echo ` a la Remarque 2.4, montrer que la Proposition 2.3
est compatible avec le r´ esultat g´ en´ eral de la Proposition 2.12. En particulier,
v´ erifier que toutes les convergences de l’´ enonc´ e de la Proposition 2.12 ont bien
lieu dans le cadre de la Proposition 2.3.
Une autre remarque est la suivante : en fait les conditions aux limites (ici on
a pris les solutions u
ε dans H
1
0 ) ne jouent pas de rˆ ole. Ainsi, on a
Lemme 2.14. Dans les conditions de la proposition pr´ ec´ edente, si on a une
fonction f ∈ H
−1 (Ω) et une suite de fonctions de H
1 (Ω), not´ ee v
ε
′ telle que
−div A
ε
′ ∇v
ε
′ = f
et
v
ε
′ ⇀vdans H
1 (Ω),
alors
A
ε
′ ∇v
ε
′ ⇀A
⋆ ∇v dans L
2 (Ω), et donc − div A
⋆ ∇v = f.
Remarque 2.15. Bien sˆ ur, ajoutons aussi le commentaire que la Proposition 2.12 et le Lemme 2.14 d´ epassent largement le cadre p´ eriodique que nous
manipulerons ici par souci de simplicit´ e.