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2 Techniques d’homog´ en´ eisation
D’autre part, nous avons, puisque a ne d´ epend pas de la coordonn´ ee x 2
(l` a est le point cl´ ed el ad ´ emonstration),
σ
ε
2 = a(
x 1
ε
)
∂
∂x 2
u
ε =
∂
∂x 2
a(
x 1
ε
)u
ε
.
Or, encore par produit de la suite u
ε qui converge fortement dans L
2 et de
la suite a(
x 1
ε
) qui converge faiblement-⋆ dans L
∞ , nous avons la convergence
faible dans L
2
a(
x 1
ε
)u
ε ⇀< a > u
⋆ ,
et donc la convergence faible dans H
−1
σ
ε
2 ⇀σ 2 =
∂
∂x 2
u
⋆
En regroupant ce que nous avons obtenu, nous aboutissons bien `
al ap r o -
position.
♦
2.2.2 Le r´ esultat g´ en´ eral
Il est temps, avant de passer ` a un cas plus compliqu´ e, de citer un r´ esultat
central, que nous ne d´ emontrerons pas et qui est clairement la g´ en´ eralisation
des cas que nous avons rencontr´ es jusqu’ici.
Proposition 2.12. Soit Ω un ouvert born´ ed eIR
N ,e ts o i tA
ε une suite de
matrices inversibles `
a coefficients dans L
∞ (IR
N ) et v´ erifiant A
ε ≥ c 1 Id et
(A
ε )
−1 ≥ c 2 Id (au sens o` u ∀x ∈ IR
N , (A
ε x, x) ≥ c 1 x
2 ,e td em ˆ eme pour
(A
ε )
−1 ) pour deux constantes c i > 0 ne d´ ependant pas de ε. Alors, il existe
une matrice A
⋆ v´ erifiant les mˆ emes propri´ et´ es que A
ε et une sous suite A
ε
′
de A
ε telles que, pour toute fonction f ∈ H
−1 (Ω),s iu
ε est la solution dans
H
1
0 (Ω) de
−div A
ε ∇u
ε = f,
(2.18)
alors on ait les convergences
u
ε
′ ⇀u
⋆ ,A
ε
′ ∇u
ε
′ ⇀A
⋆ ∇u
⋆ ,A
ε
′ ∇u
ε
′ ·∇u
ε
′ ⇀A
⋆ ∇u
⋆ ·∇u
⋆
(2.19)
respectivement dans H
1
0 (Ω)-faible, L
2 (Ω)-faible, et D
′ (Ω) et de plus
Ω
A
ε
′ ∇u
ε
′ ·∇u
ε
′ dx −→
Ω
A
⋆ ∇u
⋆ ·∇u
⋆ dx,
(2.20)
o` u u
⋆ est la solution dans H
1
0 (Ω) de
−div A
⋆ ∇u
⋆ = f,
(2.21)