2.2 Deux cas bidimensionnels
47
que sa “r´ eponse” dans cette direction soit la moyenne (au sens habituel, soit
)d e sr ´ eponses des mat´ eriaux constitutifs.
Nous ne sommes pas en mesure de pr´ esenter ici tous les d´ etails techniques
de la preuve de cette proposition. Cependant, nous en indiquons les grandes
lignes, en admettant un ou deux points au cours de la preuve.
Preuve de la Proposition 2.11 :
Comme dans la section pr´ ec´ edente, les bornes sur a permettent de montrer
facilement que la suite u
ε et les suites
∂
∂x i
u
ε sont born´ ees dans L
2 (Q), ou
ce qui revient au mˆ eme, que u
ε est born´ ee dans H
1
0 (Q). A extraction pr` es,
nous pouvons donc supposer la convergence faible de ces suites respectivement
vers u
⋆ et les
∂
∂x i
u
⋆ .Mieux,` acauseduth´ eor` eme de Rellich (Proposition 1.23),
nous pouvons mˆ eme supposer que la convergence de u
ε vers u
⋆ dans L
2 (Q)
est forte.
Notons maintenant, pour i =1, 2,
σ
ε
i = a(
x 1
ε
)
∂
∂x i
u
ε (x 1 ,x 2 ).
Il est clair que
1
a(
x1
ε )
σ
ε
1 =
∂
∂x 1
u
ε ⇀
∂
∂x 1
u
⋆ .
(2.16)
D’autre part, en utilisant les bornes sur a et celles sur
∂
∂x 1
u
ε ,n o u sa v o n s
facilement σ
ε
1 born´ ee dans L
2 (Q). De plus, `
ac a u s ed el ’ ´ equation,
−
∂
∂x 1
σ
ε
1 = f +
∂
∂x 2
σ
ε
2
est born´ ee ind´ ependamment de ε dans un certain espace fonctionnel, `
as a v o i r
L
2
x1 (H
−1
x2 ). On admet que les deux propri´ et´ es d’avoir σ
ε
1 born´ ee dans L
2 (Q)
et
∂
∂x 1
σ
ε
1 born´ ee dans L
2
x1 (H
−1
x2 ) impliquent qu’` a extraction pr` es σ
ε
1 converge
fortement (dans L
2
x1 (H
−1
x2 )) vers un certain σ 1 .C e l ae n t r a ˆ ıne la convergence
faible
1
a(
x1
ε )
σ
ε
1 ⇀<
1
a
>σ 1
(2.17)
grˆ ace ` a un produit d’une convergence faible (celle de
1
a (
·
ε ) vers sa moyenne) par
une convergence forte (celle de σ
ε
1 vers σ 1 ) et l’application de la Proposition
1.17. Nous d´ eduisons alors de (2.16) et (2.17) que
σ 1 =
1
<
1
a >
∂
∂x 1
u
⋆ .