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2 Techniques d’homog´ en´ eisation
− div
a(
x 1
ε
)0
0 a(
x 1
ε
)
∇u
ε (x 1 ,x 2 )
= f
(2.12)
qui s’´ ecrit aussi
−div (a(
x 1
ε
)
∂
∂x 1
u
ε (x 1 ,x 2 )e 1 +
∂
∂x 2
u
ε (x 1 ,x 2 )e 2
)=f.
(2.13)
On a not´ e( e 1 ,e 2 ) la base canonique de vecteurs unitaires du plan. On
consid` ere cette ´ equation sur le carr´ e Q =[0, 1]
2 et on lui adjoint des conditions
nulles au bord de ce carr´ e. Ici et dans toute la suite de ce chapitre, la fonction
u
ε prend ses valeurs dans IR.
Dans cette ´ equation, la fonction a est encore une fonction p´ eriodique de
p´ eriode 1, v´ erifiant la propri´ et´ e (2.2). Le point important est qu’elle d´ epend
seulement de la premi` ere coordonn´ ee x 1 du point x =(x 1 ,x 2 ). Typiquement,
elle figure un coefficient qui d´ epend de la nature du mat´ eriau mod´ elis´ e. Par
exemple, il s’agit d’une conductivit´ e thermique, u ´ etant alors la temp´ erature
et f la source de chaleur, ou d’une conductivit´ e´ electrique, et u est alors le
potentiel ´ electrique, et f la charge. Dans tous les cas, on consid` ere un mat´ eriau
bidimensionnel dont les propri´ et´ es ne d´ ependent que de x 1 . Par exemple, si a
est la fonction
a(x 1 )=
α si 0 ≤ x 1 ≤ 1/2
β si 1/2
alors on peut penser `
a (2.12) comme un mod` ele pour un mat´ eriau fait d’un
assemblage de lamelles de coefficient α et β, chacune d’´ epaisseur ε/2e ta s -
sembl´ ees dans le sens x 1 (voir Figure 2.1).
Le probl` eme obtenu ` a partir de (2.12) en laissant ε tendre vers 0 est ´ enonc´ e
dans la proposition suivante :
Proposition 2.11. Quand ε tend vers 0, la solution u
ε du probl` eme (2.12)
tend vers la solution u
⋆ de
− div
1
<
1
a >
0
0
∇u
⋆
= f
(2.15)
c’est-` a-dire de
−div (
1
<
1
a >
∂
∂x 1
u
⋆ (x 1 ,x 2 )e 1 +
∂
∂x 2
u
⋆ (x 1 ,x 2 )e 2
)=f.
On peut comprendre (2.15) par le raisonnement intuitif suivant. Dans la
direction x 1 ,l em a t ´ eriau est rigoureusement identique au mat´ eriau monodimensionnel ´ etudi´ ep r ´ ec´ edemment, et il est donc naturel de voir la quantit´ e
1
<
1
a >
apparaˆ ıtre comme coefficient homog´ en´ eis´ e. Dans la direction x 2 ,l e
mat´ eriau n’a pas d’h´ et´ erog´ en´ eit´ e` al ’ ´ echelle ε, et il est donc aussi naturel
2 Techniques d’homog´ en´ eisation
− div
a(
x 1
ε
)0
0 a(
x 1
ε
)
∇u
ε (x 1 ,x 2 )
= f
(2.12)
qui s’´ ecrit aussi
−div (a(
x 1
ε
)
∂
∂x 1
u
ε (x 1 ,x 2 )e 1 +
∂
∂x 2
u
ε (x 1 ,x 2 )e 2
)=f.
(2.13)
On a not´ e( e 1 ,e 2 ) la base canonique de vecteurs unitaires du plan. On
consid` ere cette ´ equation sur le carr´ e Q =[0, 1]
2 et on lui adjoint des conditions
nulles au bord de ce carr´ e. Ici et dans toute la suite de ce chapitre, la fonction
u
ε prend ses valeurs dans IR.
Dans cette ´ equation, la fonction a est encore une fonction p´ eriodique de
p´ eriode 1, v´ erifiant la propri´ et´ e (2.2). Le point important est qu’elle d´ epend
seulement de la premi` ere coordonn´ ee x 1 du point x =(x 1 ,x 2 ). Typiquement,
elle figure un coefficient qui d´ epend de la nature du mat´ eriau mod´ elis´ e. Par
exemple, il s’agit d’une conductivit´ e thermique, u ´ etant alors la temp´ erature
et f la source de chaleur, ou d’une conductivit´ e´ electrique, et u est alors le
potentiel ´ electrique, et f la charge. Dans tous les cas, on consid` ere un mat´ eriau
bidimensionnel dont les propri´ et´ es ne d´ ependent que de x 1 . Par exemple, si a
est la fonction
a(x 1 )=
α si 0 ≤ x 1 ≤ 1/2
β si 1/2
alors on peut penser `
a (2.12) comme un mod` ele pour un mat´ eriau fait d’un
assemblage de lamelles de coefficient α et β, chacune d’´ epaisseur ε/2e ta s -
sembl´ ees dans le sens x 1 (voir Figure 2.1).
Le probl` eme obtenu ` a partir de (2.12) en laissant ε tendre vers 0 est ´ enonc´ e
dans la proposition suivante :
Proposition 2.11. Quand ε tend vers 0, la solution u
ε du probl` eme (2.12)
tend vers la solution u
⋆ de
− div
1
<
1
a >
0
0
∇u
⋆
= f
(2.15)
c’est-` a-dire de
−div (
1
<
1
a >
∂
∂x 1
u
⋆ (x 1 ,x 2 )e 1 +
∂
∂x 2
u
⋆ (x 1 ,x 2 )e 2
)=f.
On peut comprendre (2.15) par le raisonnement intuitif suivant. Dans la
direction x 1 ,l em a t ´ eriau est rigoureusement identique au mat´ eriau monodimensionnel ´ etudi´ ep r ´ ec´ edemment, et il est donc naturel de voir la quantit´ e
1
<
1
a >
apparaˆ ıtre comme coefficient homog´ en´ eis´ e. Dans la direction x 2 ,l e
mat´ eriau n’a pas d’h´ et´ erog´ en´ eit´ e` al ’ ´ echelle ε, et il est donc aussi naturel