2.2 Deux cas bidimensionnels
45
Remarque 2.9. Il faut remarquer que dans la preuve de la proposition cidessus, nous n’utilisons le caract` ere p´ eriodique de la fonction a(
·
ε
) que pour
d´ eterminer explicitement sa limite faible-⋆. La preuve est donc encore vraie
pour une suite de fonctions a ε qui serait born´ ee dans L
∞ (]0, 1[) et telle que
0 de ε.Biensˆ ur, c’est l’inverse de la limite faible de
1
a
qui remplace alors
1
<
1
a >
dans l’´ equation homog´ en´ eis´ ee et le r´ esultat tient seulement pour une extraction (lorsque cette limite n’est pas unique).
Exercice 2.10. On d´ ecide d’attaquer directement la r´ esolution par ´ el´ ements
finis P1 de l’´ equation (2.1) avec un pas de maillage h nettement plus grand
que ε. Montrer que l’on obtient alors un r´ esultat faux, qui revient en fait `
a
approcher num´ eriquement la solution de
−
d
dx
(
d
dx
u)=f,
(2.11)
et non pas de (2.10).
2.2 Deux cas bidimensionnels
En dimension 2, la situation va s’av´ erer beaucoup plus complexe car les questions de g´ eom´ etrie vont entrer en jeu.
2.2.1 Les mat´ eriaux lamell´ es
Commen¸ cons par un cas de dimension 2 qui ressemble ` a un cas de dimension 1 :
le cas des mat´ eriaux lamell´ es.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Fig. 2.1. Mat´ eriau lamell´ e (on dit aussi “lamin´ e”) : la structure est invariante selon
x2 et p´ eriodique de p´ eriode ε selon x1.
Regardons en effet l’´ equation aux d´ eriv´ ees partielles