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2 Techniques d’homog´ en´ eisation
−
d
dx
u
⋆ =<
1
a
>
x
0
f + c
.
(2.9)
La limite u
⋆ de la suite u
ε solution de (2.1) est donc solution de
−
d
dx
(
1
<
1
a >
d
dx
u
⋆ )=f,
(2.10)
compl´ ement´ ee des conditions au bord u
⋆ (0) = u
⋆ (1) = 0. Il nous reste `
a
remarquer que pour une autre extraction de u
ε nous obtiendrions la mˆ eme
´ equation limite et la mˆ eme fonction limite, car c’est toute la suite
1
a
(
·
ε
)q u i
converge vers la moyenne <
1
a
>, et que la solution de (2.10) est en fait unique.
Donc la limite u
⋆ q u en o u sa v o n so b t e n u en ed ´ epend pas de la sous-suite
consid´ er´ ee, ce qui montre que toute la suite u
ε converge vers cette limite. ♦
Exercice 2.6. Montrer que toute fonction de H
1 (]0, 1[) admet un repr´ esentant
continu qui s’´ ecrit
u(x)=u(0) +
x
0
du
dx
.
En d´ eduire qu’il existe une constante C telle qu’on ait l’in´ egalit´ e de Poincar´ e:
1
0
u
2 ≤ C
1
0
|
du
dx
|
2 pour tout u ∈ H
1
0 (]0, 1[).
La strat´ egie que l’on peut employer pour approcher la solution de (2.1)
num´ eriquement est donc de
– calculer d’abord le coefficient homog´ en´ eis´ e <
1
a
>
–r ´ esoudre ensuite (2.6) avec un pas h ad´ equat, non n´ ecessairement petit ;
et ceci au lieu de tenter de discr´ etiser directement (2.1) avec un pas de maillage
plus petit que ε, ce qui serait juste mais trop coˆ uteux, ou de discr´ etiser directement (2.1) avec un pas de maillage plus grand que ε, ce qui serait moins
coˆ uteux certes, mais faux (voir l’Exercice 2.10 ci-dessous).
Nous verrons que cette strat´ egie en deux ´ etapes se retrouvera dans des
situations plus complexes.
Remarque 2.7. Il faut bien noter que l’´ etape 1 peut se faire avant l’´ etape 2
car le coefficient homog´ en´ eis´ e
1
<
1
a >
ne d´ epend pas de la fonction f . Nous
retrouverons ce point capital `
a la Proposition 2.12 et dans les remarques qui
la suivent.
Remarque 2.8. En fait, num´ eriquement, on peut proc´ eder en g´ erant conjointement les ´ echelles et non pas en deux temps comme indiqu´ e ci-dessus, mais
nous verrons cela plus loin.
2 Techniques d’homog´ en´ eisation
−
d
dx
u
⋆ =<
1
a
>
x
0
f + c
.
(2.9)
La limite u
⋆ de la suite u
ε solution de (2.1) est donc solution de
−
d
dx
(
1
<
1
a >
d
dx
u
⋆ )=f,
(2.10)
compl´ ement´ ee des conditions au bord u
⋆ (0) = u
⋆ (1) = 0. Il nous reste `
a
remarquer que pour une autre extraction de u
ε nous obtiendrions la mˆ eme
´ equation limite et la mˆ eme fonction limite, car c’est toute la suite
1
a
(
·
ε
)q u i
converge vers la moyenne <
1
a
>, et que la solution de (2.10) est en fait unique.
Donc la limite u
⋆ q u en o u sa v o n so b t e n u en ed ´ epend pas de la sous-suite
consid´ er´ ee, ce qui montre que toute la suite u
ε converge vers cette limite. ♦
Exercice 2.6. Montrer que toute fonction de H
1 (]0, 1[) admet un repr´ esentant
continu qui s’´ ecrit
u(x)=u(0) +
x
0
du
dx
.
En d´ eduire qu’il existe une constante C telle qu’on ait l’in´ egalit´ e de Poincar´ e:
1
0
u
2 ≤ C
1
0
|
du
dx
|
2 pour tout u ∈ H
1
0 (]0, 1[).
La strat´ egie que l’on peut employer pour approcher la solution de (2.1)
num´ eriquement est donc de
– calculer d’abord le coefficient homog´ en´ eis´ e <
1
a
>
–r ´ esoudre ensuite (2.6) avec un pas h ad´ equat, non n´ ecessairement petit ;
et ceci au lieu de tenter de discr´ etiser directement (2.1) avec un pas de maillage
plus petit que ε, ce qui serait juste mais trop coˆ uteux, ou de discr´ etiser directement (2.1) avec un pas de maillage plus grand que ε, ce qui serait moins
coˆ uteux certes, mais faux (voir l’Exercice 2.10 ci-dessous).
Nous verrons que cette strat´ egie en deux ´ etapes se retrouvera dans des
situations plus complexes.
Remarque 2.7. Il faut bien noter que l’´ etape 1 peut se faire avant l’´ etape 2
car le coefficient homog´ en´ eis´ e
1
<
1
a >
ne d´ epend pas de la fonction f . Nous
retrouverons ce point capital `
a la Proposition 2.12 et dans les remarques qui
la suivent.
Remarque 2.8. En fait, num´ eriquement, on peut proc´ eder en g´ erant conjointement les ´ echelles et non pas en deux temps comme indiqu´ e ci-dessus, mais
nous verrons cela plus loin.