2.1 Le cas monodimensionnel
43
Remarque 2.4. Le r´ esultat de la Proposition 2.3 est en fait un cas particulier
explicite du r´ esultat de la Proposition 2.12, plus g´ en´ erale, que nous verrons
ci-dessous.
Remarque 2.5. Bien sˆ ur, compte-tenu de notre travail pr´ eliminaire sur l’´ equation sans op´ erateur diff´ erentiel (2.4), l’apparition du coefficient homog´ en´ eis´ e
1
<
1
a >
ne nous surprend pas.
Preuve de la Proposition 2.3
En multipliant l’´ equation par u
ε et en r´ ealisant une int´ egration par parties,
on constate que
1
0
a(
x
ε
)|
d
dx
u
ε |
2 =
1
0
fu
ε
d’o` u par application de l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz
c 1
d
dx
u
ε
2
L 2 (]0,1[) ≤
1
0
a(
x
ε
)|
d
dx
u
ε |
2 ≤f L 2 (]0,1[) u
ε L 2 (]0,1[)
Comme u
ε est nulle en 0 et en 1, nous utilisons alors l’in´ egalit´ e de Poincar´ e
(voir l’exercice 2.6 ci-dessous) pour obtenir, pour une certaine constante c>0
cu
ε
2
L 2 (]0,1[) ≤≤f L 2 (]0,1[) u
ε L 2 (]0,1[) ,
et donc que la suite u
ε et la suite
d
dx
u
ε sont toutes les deux born´ ees dans
L
2 (]0, 1[), ce qui revient `
ad i r eq u eu
ε est born´ ee dans H
1
0 (]0, 1[). Quitte `
a
extraire une sous-suite, ce que nous faisons sans changer de notation, nous
pouvons donc supposer que u
ε converge fortement dans L
2 vers une certaine
fonction u
⋆ , alors que
d
dx
u
ε converge faiblement dans L
2 vers
d
dx
u
⋆ .P a r
construction, la limite u
⋆ appartient aussi `
a H
1
0 (]0, 1[).
Int´ egrons alors (2.1) :
−a(
x
ε
)
d
dx
u
ε =
x
0
f + c ε ,
(2.7)
o` u` a cause des bornes sur a et sur u
ε qu’on vient de montrer, la suite de r´ eels
c ε est une suite de r´ eels born´ ee. A extraction pr` es, on peut donc sans perte
de g´ en´ eralit´ e supposer que c ε converge vers un certain c.R ´ ecrivons alors
−
d
dx
u
ε =
1
a
(
x
ε
)
x
0
f + c ε
.
(2.8)
Comme la suite
1
a
est aussi dans L
∞ et p´ eriodique (en vertu des propri´ et´ es
de a), on peut lui appliquer la Proposition 2.1, et on sait donc que la suite
−
d
dx
u
ε converge faiblement dans L
2 vers la fonction <
1
a
>
x
0
f + c
,d ’ o` u
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Remarque 2.4. Le r´ esultat de la Proposition 2.3 est en fait un cas particulier
explicite du r´ esultat de la Proposition 2.12, plus g´ en´ erale, que nous verrons
ci-dessous.
Remarque 2.5. Bien sˆ ur, compte-tenu de notre travail pr´ eliminaire sur l’´ equation sans op´ erateur diff´ erentiel (2.4), l’apparition du coefficient homog´ en´ eis´ e
1
<
1
a >
ne nous surprend pas.
Preuve de la Proposition 2.3
En multipliant l’´ equation par u
ε et en r´ ealisant une int´ egration par parties,
on constate que
1
0
a(
x
ε
)|
d
dx
u
ε |
2 =
1
0
fu
ε
d’o` u par application de l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz
c 1
d
dx
u
ε
2
L 2 (]0,1[) ≤
1
0
a(
x
ε
)|
d
dx
u
ε |
2 ≤f L 2 (]0,1[) u
ε L 2 (]0,1[)
Comme u
ε est nulle en 0 et en 1, nous utilisons alors l’in´ egalit´ e de Poincar´ e
(voir l’exercice 2.6 ci-dessous) pour obtenir, pour une certaine constante c>0
cu
ε
2
L 2 (]0,1[) ≤≤f L 2 (]0,1[) u
ε L 2 (]0,1[) ,
et donc que la suite u
ε et la suite
d
dx
u
ε sont toutes les deux born´ ees dans
L
2 (]0, 1[), ce qui revient `
ad i r eq u eu
ε est born´ ee dans H
1
0 (]0, 1[). Quitte `
a
extraire une sous-suite, ce que nous faisons sans changer de notation, nous
pouvons donc supposer que u
ε converge fortement dans L
2 vers une certaine
fonction u
⋆ , alors que
d
dx
u
ε converge faiblement dans L
2 vers
d
dx
u
⋆ .P a r
construction, la limite u
⋆ appartient aussi `
a H
1
0 (]0, 1[).
Int´ egrons alors (2.1) :
−a(
x
ε
)
d
dx
u
ε =
x
0
f + c ε ,
(2.7)
o` u` a cause des bornes sur a et sur u
ε qu’on vient de montrer, la suite de r´ eels
c ε est une suite de r´ eels born´ ee. A extraction pr` es, on peut donc sans perte
de g´ en´ eralit´ e supposer que c ε converge vers un certain c.R ´ ecrivons alors
−
d
dx
u
ε =
1
a
(
x
ε
)
x
0
f + c ε
.
(2.8)
Comme la suite
1
a
est aussi dans L
∞ et p´ eriodique (en vertu des propri´ et´ es
de a), on peut lui appliquer la Proposition 2.1, et on sait donc que la suite
−
d
dx
u
ε converge faiblement dans L
2 vers la fonction <
1
a
>
x
0
f + c
,d ’ o` u