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2 Techniques d’homog´ en´ eisation
c’est-` a-dire
u
ε = −
f (x)
a(
x
ε
)
.
A la limite ε −→ 0, en vertu de la Proposition 2.1 appliqu´ ee ` al af o n c t i o n
1
a
,
on sait donc que
u ε ⇀u
⋆ = − <
1
a
>f
faiblement (dans L
2 ). L’´ equation limite (on dira bientˆ ot homog´ en´ eis´ ee)o b t e -
nue `
a partir de (2.4) est donc
−
1
<
1
a >
u
⋆ = f,
(2.5)
En d’autres termes, ce n’est pas qui va compter, comme l’aurait fait
croire l’approche na¨ ıve, mais l’inattendu
1
<
1
a >
(qui est bien sˆ ur diff´ erent, sauf
miracle, de , voir l’Exercice 2.2). Autrement dit encore, la connaissance
de la statistique de la fonction a ne suffit pas ` a connaˆ ıtre le comportement
moyen de u ε . Que la statistique de l’entr´ ee a ne suffise pas ` a connaˆ ıtre celle
de la sortie u ε est en fait naturel car (2.4), comme (2.1), est un probl` eme
non lin´ eaire (a multiplie u ε ). Dans le cas (2.4), et aussi nous le verrons dans
le cas (2.1) o` u l’op´ erateur diff´ erentiel est r´ etabli, l’analyse montre qu’il faut
connaˆ ıtre la statistique de
1
a
. Bizarre ! C’est pourtant le cas le plus simple possible, et, dans des cas ` a peine plus compliqu´ es, avoir l’intuition du coefficient
homog´ en´ eis´ e,l e
1
<
1
a >
qui va apparaˆ ıtre, est une tˆ ache impossible.
Exercice 2.2. Soit a une fonction p´ eriodique telle que 0 deux constantes m et M .Mon trerque
1
<
1
a >
=si et seulement si a est
constante.
Nous sommes maintenant en mesure de revenir ` al’´ etude de notre probl` eme
(2.1) et d’´ etablir la
Proposition 2.3. La solution u
ε ∈ H
1
0 (]0, 1[) de
−
d
dx
(a(
x
ε
)
d
dx
u
ε )=f,
converge dans L
2 (]0, 1[) vers la solution u
⋆ ∈ H
1
0 (]0, 1[) de l’´ equation dite
homog´ en´ eis´ ee
−
d
dx
(
1
<
1
a >
d
dx
u
⋆ )=f,
(2.6)