2.1 Le cas monodimensionnel
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La topologie de la convergence faible va nous fournir les ´ el´ ements pour
r´ e s o u d r el ep o i n t( a ) .
Proposition 2.1. Soit a une fonction dans L
∞ (IR),s u p p o s ´ ee p´ eriodique de
p´ eriode 1. Alors la suite de fonctions a(
·
ε
) converge faiblement-⋆ vers la fonction constante not´ ee , dite moyenne de a,e td ev a l e u r
=
1
0
a.
(2.3)
Preuve :
Il s’agit de montrer que pour toute fonction v ∈ L
1 (IR), on a
a(
x
ε
)v(x) dx −→
1
0
a
v.
On montre en fait cela pour v une fonction caract´ eristique, puis il suffira d’utiliser la densit´ e des fonctions en escalier dans l’espace L
1 (IR). Nous sommes
donc ramen´ es ` a montrer que pour α<β,o na
β
α
a(
x
ε
) dx −→ (β − α)
1
0
a.
On r´ ecrit simplement, en utilisant la p´ eriodicit´ e et en notant [x]l ap a r t i e
enti` ere de x,
β
α
a(
x
ε
) dx = ε
β
ε
α
ε
a(y) dy
= ε(
β
ε
−
α
ε
+1)+ε
[
α
ε ]+1
α
ε
a(y) dy + ε
β
ε
[
β
ε ]
a(y) dy
=( β − α) +O(ε)
Ceci conclut la preuve.
♦
Ap a r t i rd ur ´ esultat ci-dessus, une vision na¨ ıve des choses pourrait faire
p e n s e rs u rl ab a s ed e( 2 . 1 )q u el al i m i t ed el ’ ´ equation est
−
d
dx
(
d
dx
u
⋆ )=f,
puisqu’il “suffit” de remplacer a par sa moyenne. Pour tester si les choses sont
aussi spontan´ ees que cela, nous allons maintenant attaquer le point (b).
Effa¸ cons par la pens´ ee l’op´ erateur diff´ erentiel dans (2.1) de sorte que u ε
devient la solution de
−a(
x
ε
) u
ε = f,
(2.4)