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2 Techniques d’homog´ en´ eisation
Nous m` enerons ce travail ` a bien sur l’´ equation (2.1) dans la Section 2.1
ci-dessous.
Ensuite, nous enchaˆ ınerons sur des situations en dimension 2, et sur des
cas beaucoup plus compliqu´ es. Nous verrons aussi (Section 2.5) que ce qui a
´ et´ eemplo y ´ esurles´ equations peut l’ˆ etre aussi sur les conditions aux bords, et
ce sera pour nous l’occasion d’aborder les probl` emes dits de couche limite qui
sont eux aussi `
a ranger dans la classe des probl` emes multi´ echelles. Enfin, en
Section 2.6, nous constaterons, sur un exemple, que toutes les ´ equations ne se
plient pas `
a l’homog´ en´ eisation avec autant de “simplicit´ e” que les ´ equations
de type (2.1) (qu’on appelle elliptiques).
2.1 Le cas monodimensionnel
Nous reprenons (2.1) :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−
d
dx
(a(
x
ε
)
d
dx
u
ε )=f, dans ]0, 1[
u
ε (0) = u
ε (1) = 0
Rappelons que a est p´ eriodique de p´ eriode 1. Nous supposons de plus que
cette fonction est born´ ee, positive et isol´ ee de z´ ero, c’est-` a-dire qu’il existe
deux constantes 0
Nous supposons que f ∈ L
2 (]0, 1[). Toutes ces hypoth` eses peuvent ˆ etre largement relax´ ees au prix de complications math´ ematiques inutiles pour cet
expos´ e introductif.
Soit u
ε la solution de (2.1). Nous ne d´ etaillons pas les raisons pour
lesquelles une telle fonction u
ε existe. Il suffit par exemple d’appliquer le
Th´ eor` eme de Lax-Milgram, ou de montrer l’existence d’un minimiseur dans
H
1
0 (]0, 1[) `
a la fonctionnelle fortement convexe
1
2
1
0
a(
x
ε
)|
dv
dx
|
2 −
1
0
fv. Nous
renvoyons pour les d´ etails ` a la bibliographie.
Qui peut le plus peut le moins ! Si on veut d´ eterminer la “forme” de u
ε
solution de (2.1) pour ε petit, et sa “limite” u
⋆ quand ε tend vers 0, il faut
au moins que nous sachions
(a) d’abord d´ efinir avec pr´ ecision le comportement de a(
·
ε
)p o u rε petit,
(b) ensuite r´ e s o u d r el em ˆ eme probl` eme (d´ eterminer la “forme” de u
ε pour ε
petit) quand il n’y a pas d’op´ erateur diff´ erentiel dans (2.1)
1 .
1 Contrairement au point (a), ce point (b) n’est pas stricto sensu n´ ecessaire pour
la suite du raisonnement. Mais il va bigrement nous aider ` a comprendre.
2 Techniques d’homog´ en´ eisation
Nous m` enerons ce travail ` a bien sur l’´ equation (2.1) dans la Section 2.1
ci-dessous.
Ensuite, nous enchaˆ ınerons sur des situations en dimension 2, et sur des
cas beaucoup plus compliqu´ es. Nous verrons aussi (Section 2.5) que ce qui a
´ et´ eemplo y ´ esurles´ equations peut l’ˆ etre aussi sur les conditions aux bords, et
ce sera pour nous l’occasion d’aborder les probl` emes dits de couche limite qui
sont eux aussi `
a ranger dans la classe des probl` emes multi´ echelles. Enfin, en
Section 2.6, nous constaterons, sur un exemple, que toutes les ´ equations ne se
plient pas `
a l’homog´ en´ eisation avec autant de “simplicit´ e” que les ´ equations
de type (2.1) (qu’on appelle elliptiques).
2.1 Le cas monodimensionnel
Nous reprenons (2.1) :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−
d
dx
(a(
x
ε
)
d
dx
u
ε )=f, dans ]0, 1[
u
ε (0) = u
ε (1) = 0
Rappelons que a est p´ eriodique de p´ eriode 1. Nous supposons de plus que
cette fonction est born´ ee, positive et isol´ ee de z´ ero, c’est-` a-dire qu’il existe
deux constantes 0
Nous supposons que f ∈ L
2 (]0, 1[). Toutes ces hypoth` eses peuvent ˆ etre largement relax´ ees au prix de complications math´ ematiques inutiles pour cet
expos´ e introductif.
Soit u
ε la solution de (2.1). Nous ne d´ etaillons pas les raisons pour
lesquelles une telle fonction u
ε existe. Il suffit par exemple d’appliquer le
Th´ eor` eme de Lax-Milgram, ou de montrer l’existence d’un minimiseur dans
H
1
0 (]0, 1[) `
a la fonctionnelle fortement convexe
1
2
1
0
a(
x
ε
)|
dv
dx
|
2 −
1
0
fv. Nous
renvoyons pour les d´ etails ` a la bibliographie.
Qui peut le plus peut le moins ! Si on veut d´ eterminer la “forme” de u
ε
solution de (2.1) pour ε petit, et sa “limite” u
⋆ quand ε tend vers 0, il faut
au moins que nous sachions
(a) d’abord d´ efinir avec pr´ ecision le comportement de a(
·
ε
)p o u rε petit,
(b) ensuite r´ e s o u d r el em ˆ eme probl` eme (d´ eterminer la “forme” de u
ε pour ε
petit) quand il n’y a pas d’op´ erateur diff´ erentiel dans (2.1)
1 .
1 Contrairement au point (a), ce point (b) n’est pas stricto sensu n´ ecessaire pour
la suite du raisonnement. Mais il va bigrement nous aider ` a comprendre.