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Techniques d’homog´ en´ eisation
Nous allons dans ce chapitre pr´ esenter sous une forme simple une strat´ egie
courante pour attaquer les probl` emes multi´ echelles ` asavoirlastrat´ egie de l’homog´ en´ eisation. Nous la verrons aussi bien sous ses aspects de technique d’analyse math´ ematique que sous ses aspects de technique d’analyse num´ erique (on
parle dans ce second cas d’homog´ en´ eisation num´ erique).
En termes simples, le constat est le suivant. Prenons comme support un
probl` eme aux limites monodimensionnel. Nous consid´ erons une fonction a de
la variable r´ eelle, suppos´ ee p´ eriodique de p´ eriode 1, minor´ ee par une constante
strictement positive, et pour une constante ε suppos´ ee petite, nous cherchons
la fonction u
ε ,d e[ 0 , 1] dans IR, solution de l’´ equation diff´ erentielle
−
d
dx
(a(
x
ε
)
d
dx
u
ε )=f,
(2.1)
v´ erifiant les conditions aux limites u
ε (0) = u
ε (1) = 0. Dans l’´ equation cidessus, f est une fonction r´ eguli` ere fixe donn´ ee, suppos´ ee telle que (2.1) ait
une solution unique. Il est clair qu’on peut s’attendre `
a ce que la solution u
ε
varie ` al’ ´ echelle ε,etdoncsionv eutr´ esoudre num´ eriquement l’´ equation (2.1),
par exemple par un sch´ ema aux diff´ erences finies, il nous faudra prendre un
pas de taille h au moins plus petit que ε. Sinon, en effet, on ne verra rien
des oscillations de la fonction a(
·
ε
) qui se produisent `
al ’ ´ echelle ε,e td o n ca
fortiori nous ne pourrons pas nous attendre `
ac a l c u l e ru
ε correctement. Cela
risque donc de coˆ uter cher.
Une strat´ egie envisageable est de chercher si quand ε tend vers z´ ero notre
´ equation converge vers une ´ equation limite, dite alors ´ equation homog´ en´ eis´ ee.
On pourra alors tenter de r´ esoudre l’´ equation ainsi obtenue, dans laquelle ε
aura disparu. La solution u
⋆ du probl` eme homog´ en´ eis´ e aura de bonnes chances
(et c’est bien sˆ ur en fait le cas) de ressembler ` a u
ε pour ε petit, la fonction
u
ε oscillant en effet autour de u
⋆ . Son approximation num´ erique pourra se
calculer avec un maillage de taille h (pour les ´ el´ ements finis), ou un pas h
(pour la m´ ethode des diff´ erences finies) qui ne sera plus n´ ecessairement aussi
petit que ε.
Techniques d’homog´ en´ eisation
Nous allons dans ce chapitre pr´ esenter sous une forme simple une strat´ egie
courante pour attaquer les probl` emes multi´ echelles ` asavoirlastrat´ egie de l’homog´ en´ eisation. Nous la verrons aussi bien sous ses aspects de technique d’analyse math´ ematique que sous ses aspects de technique d’analyse num´ erique (on
parle dans ce second cas d’homog´ en´ eisation num´ erique).
En termes simples, le constat est le suivant. Prenons comme support un
probl` eme aux limites monodimensionnel. Nous consid´ erons une fonction a de
la variable r´ eelle, suppos´ ee p´ eriodique de p´ eriode 1, minor´ ee par une constante
strictement positive, et pour une constante ε suppos´ ee petite, nous cherchons
la fonction u
ε ,d e[ 0 , 1] dans IR, solution de l’´ equation diff´ erentielle
−
d
dx
(a(
x
ε
)
d
dx
u
ε )=f,
(2.1)
v´ erifiant les conditions aux limites u
ε (0) = u
ε (1) = 0. Dans l’´ equation cidessus, f est une fonction r´ eguli` ere fixe donn´ ee, suppos´ ee telle que (2.1) ait
une solution unique. Il est clair qu’on peut s’attendre `
a ce que la solution u
ε
varie ` al’ ´ echelle ε,etdoncsionv eutr´ esoudre num´ eriquement l’´ equation (2.1),
par exemple par un sch´ ema aux diff´ erences finies, il nous faudra prendre un
pas de taille h au moins plus petit que ε. Sinon, en effet, on ne verra rien
des oscillations de la fonction a(
·
ε
) qui se produisent `
al ’ ´ echelle ε,e td o n ca
fortiori nous ne pourrons pas nous attendre `
ac a l c u l e ru
ε correctement. Cela
risque donc de coˆ uter cher.
Une strat´ egie envisageable est de chercher si quand ε tend vers z´ ero notre
´ equation converge vers une ´ equation limite, dite alors ´ equation homog´ en´ eis´ ee.
On pourra alors tenter de r´ esoudre l’´ equation ainsi obtenue, dans laquelle ε
aura disparu. La solution u
⋆ du probl` eme homog´ en´ eis´ e aura de bonnes chances
(et c’est bien sˆ ur en fait le cas) de ressembler ` a u
ε pour ε petit, la fonction
u
ε oscillant en effet autour de u
⋆ . Son approximation num´ erique pourra se
calculer avec un maillage de taille h (pour les ´ el´ ements finis), ou un pas h
(pour la m´ ethode des diff´ erences finies) qui ne sera plus n´ ecessairement aussi
petit que ε.