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1 Mod` eles micro-macro pour les solides
l’approche d´ ecrite ici difficile ` a mettre en oeuvre dans la pratique. Sous de
bonnes hypoth` eses sur W , les deux valeurs des infima (1.53) et (1.65) sont
´ egales, c’est-` a-dire
inf
ϕ∈A
Ω
W (∇ϕ(x)) dx =
inf
ϕ∈A
Ω
inf
1
|ω|
ω
W (∇ψ(y)) dy, / ψ = ∇ϕ(x)y sur le bord ∂ω
dx
.
Mais le probl` eme (1.65), au membre de droite, au contraire ´ eventuellement du
membre de gauche (1.53), admet un minimiseur. Ce minimiseur d´ ecrit en fait,
d’un certain point de vue, le comportement macroscopique, et a ´ et´ eo b t e n u
en moyennant sur les petites ´ echelles.
Remarque 1.35. La quasiconvexit´ ed eW est en fait une condition n´ ecessaire
p o u rq u el ep r o b l ` eme (1.53) admette un minimiseur.
Enfin, signalons que les deux techniques, mesure de Young d’une part et
quasiconvexit´ e d’autre part, sont reli´ ees, puisque le minimiseur ϕ 0 de (1.65)
(ou un des minimiseurs de (1.65)) a son gradient donn´ e par (1.62). En particulier, la relaxation par les mesures de Young conserve plus d’information au
niveau microscopique que la relaxation par quasiconvexification.
Fig. 1.12. Deux fonctions et leurs enveloppes quasiconvexes (A gauche un potentiel
`
a 2 puits, ` a droite un potentiel de Lennard-Jones
1
r 12 −
1
r 6 .
Exercice 1.36. On consid` ere le probl` eme de minimisation suivant
I = inf
L
0
W (ϕ
′ (x)),ϕ ∈ H
1 ([0,L]),ϕ
′ > 0,ϕ (0) = 0,ϕ(L)=a
, (1.66)
o` u L>0e ta>0s o n tfi x ´ es, et W est le potentiel de Lennard-Jones de
la Figure 1.12, normalis´ e de sorte que son minimum soit atteint en r =1 .
Montrer que l’on a, pour tout a>0,
1 Mod` eles micro-macro pour les solides
l’approche d´ ecrite ici difficile ` a mettre en oeuvre dans la pratique. Sous de
bonnes hypoth` eses sur W , les deux valeurs des infima (1.53) et (1.65) sont
´ egales, c’est-` a-dire
inf
ϕ∈A
Ω
W (∇ϕ(x)) dx =
inf
ϕ∈A
Ω
inf
1
|ω|
ω
W (∇ψ(y)) dy, / ψ = ∇ϕ(x)y sur le bord ∂ω
dx
.
Mais le probl` eme (1.65), au membre de droite, au contraire ´ eventuellement du
membre de gauche (1.53), admet un minimiseur. Ce minimiseur d´ ecrit en fait,
d’un certain point de vue, le comportement macroscopique, et a ´ et´ eo b t e n u
en moyennant sur les petites ´ echelles.
Remarque 1.35. La quasiconvexit´ ed eW est en fait une condition n´ ecessaire
p o u rq u el ep r o b l ` eme (1.53) admette un minimiseur.
Enfin, signalons que les deux techniques, mesure de Young d’une part et
quasiconvexit´ e d’autre part, sont reli´ ees, puisque le minimiseur ϕ 0 de (1.65)
(ou un des minimiseurs de (1.65)) a son gradient donn´ e par (1.62). En particulier, la relaxation par les mesures de Young conserve plus d’information au
niveau microscopique que la relaxation par quasiconvexification.
Fig. 1.12. Deux fonctions et leurs enveloppes quasiconvexes (A gauche un potentiel
`
a 2 puits, ` a droite un potentiel de Lennard-Jones
1
r 12 −
1
r 6 .
Exercice 1.36. On consid` ere le probl` eme de minimisation suivant
I = inf
L
0
W (ϕ
′ (x)),ϕ ∈ H
1 ([0,L]),ϕ
′ > 0,ϕ (0) = 0,ϕ(L)=a
, (1.66)
o` u L>0e ta>0s o n tfi x ´ es, et W est le potentiel de Lennard-Jones de
la Figure 1.12, normalis´ e de sorte que son minimum soit atteint en r =1 .
Montrer que l’on a, pour tout a>0,