1.6 Bibliographie
37
I = L.W
∗∗
a
L
,
et que l’infimum (1.66) est atteint seulement pour
a
L
≤ 1 alors que l’infimum
I = inf
L
0
W
∗∗ (ϕ
′ (x)),ϕ ∈ H
1 ([0,L]),ϕ
′ > 0,ϕ (0) = 0,ϕ(L)=a
,
(1.67)
est toujours atteint. On pr´ ecisera dans chacun des deux cas les minimiseurs.
1.6 Bibliographie
Pour des ´ el´ ements sur la m´ ecanique des milieux continus, nous renvoyons
aux livres de J. Salen¸ con [69], Ph. G. Ciarlet [25], Y. Bamberger [10]. La
discr´ etisation par ´ el´ ements finis en g´ en´ eral est expos´ ee dans le cours de G. Allaire [2], et par exemple dans les livres [33], et [67]. Pour son adaptation
sp´ ecifique aux probl` emes d’´ elasticit´ eo nr e n v o i e` a l’ouvrage de P. Le Tallec [53]. Des informations sur la fa¸ con de d´ eriver des mod` eles macroscopiques
` a partir d’informations `
al’´ echelle atomique peuvent ˆ etre par exemple trouv´ ees
dans le livre d’A. Askar [7].
La d´ erivation math´ ematique rigoureuse de densit´ es d’´ energie m´ ecanique
p e u ts el i r ed a n sl er ´ ecent article X. Blanc, C. Le Bris et P.L. Lions [15].
La m´ ethode num´ erique expos´ ee dans la Section 1.3 est connue sous le nom
de Quasi continuum method et a ´ et´ e introduite, et successivement amend´ ee,
dans E.B. Tadmor, R. Phillips [81], E.B. Tadmor, M. Ortiz, R. Phillips [82],
V.B. Shenoy, R. Miller, E.B. Tadmor, D. Rodney, R. Phillips, M. Ortiz [75],
J. Knap, M. Ortiz [51]. Pour des exemples d’application, on pourra voir
E.B. Tadmor, G.S. Smith, N. Bernstein, E. Kaxiras [80], V.B. Shenoy, R.
Miller, E.B. Tadmor, R. Phillips, M. Ortiz [74], R. Miller, E.B. Tadmor, R.
Phillips, M. Ortiz [59]. Nous en avons pr´ esent´ e ici la version “historique”, essentiellement pour des raisons p´ edagogiques. La version “actuelle” est un peu
diff´ erente ` a la fois dans son esprit (tout `
a fait dans la veine de la Remarque 1.7)
et dans sa r´ ealisation. On renvoie bien ´ evidemment ` a la bibliographie.
Pour plus de d´ etails sur les simulations multi´ echelles en science des
mat´ eriaux, on pourra consulter les ouvrages “professionnels” : P. De´ ak, Th.
Frauenheim, M. R. Pederson [27] (et en particulier l’article R. E. Rudd &
J. Q. Broughton [68] des pages 251-291 de [27]), D. Raabe [66], O. Kirchner,
LP. Kubin, V. Pontikis [49], VV. Bulatov et coll. [18].
Pour en savoir plus sur la notion de topologie faible et ses multiples propri´ et´ es, on pourra consulter, dans l’ordre croissant de difficult´ e, le cours de
G. Allaire [2], le livre de H. Br´ ezis [16] ou le remarquable petit fascicule de
L.C. Evans [35]. L’analyse math´ ematique des probl` emes de calcul des variationsdut ypedeceuxabord ´ es dans la Section 1.5 fait l’objet d’une litt´ erature
de recherche abondante. L’essentiel de ce qui a ´ et´ ee x p o s ´ e ci-dessus est tir´ e
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I = L.W
∗∗
a
L
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et que l’infimum (1.66) est atteint seulement pour
a
L
≤ 1 alors que l’infimum
I = inf
L
0
W
∗∗ (ϕ
′ (x)),ϕ ∈ H
1 ([0,L]),ϕ
′ > 0,ϕ (0) = 0,ϕ(L)=a
,
(1.67)
est toujours atteint. On pr´ ecisera dans chacun des deux cas les minimiseurs.
1.6 Bibliographie
Pour des ´ el´ ements sur la m´ ecanique des milieux continus, nous renvoyons
aux livres de J. Salen¸ con [69], Ph. G. Ciarlet [25], Y. Bamberger [10]. La
discr´ etisation par ´ el´ ements finis en g´ en´ eral est expos´ ee dans le cours de G. Allaire [2], et par exemple dans les livres [33], et [67]. Pour son adaptation
sp´ ecifique aux probl` emes d’´ elasticit´ eo nr e n v o i e` a l’ouvrage de P. Le Tallec [53]. Des informations sur la fa¸ con de d´ eriver des mod` eles macroscopiques
` a partir d’informations `
al’´ echelle atomique peuvent ˆ etre par exemple trouv´ ees
dans le livre d’A. Askar [7].
La d´ erivation math´ ematique rigoureuse de densit´ es d’´ energie m´ ecanique
p e u ts el i r ed a n sl er ´ ecent article X. Blanc, C. Le Bris et P.L. Lions [15].
La m´ ethode num´ erique expos´ ee dans la Section 1.3 est connue sous le nom
de Quasi continuum method et a ´ et´ e introduite, et successivement amend´ ee,
dans E.B. Tadmor, R. Phillips [81], E.B. Tadmor, M. Ortiz, R. Phillips [82],
V.B. Shenoy, R. Miller, E.B. Tadmor, D. Rodney, R. Phillips, M. Ortiz [75],
J. Knap, M. Ortiz [51]. Pour des exemples d’application, on pourra voir
E.B. Tadmor, G.S. Smith, N. Bernstein, E. Kaxiras [80], V.B. Shenoy, R.
Miller, E.B. Tadmor, R. Phillips, M. Ortiz [74], R. Miller, E.B. Tadmor, R.
Phillips, M. Ortiz [59]. Nous en avons pr´ esent´ e ici la version “historique”, essentiellement pour des raisons p´ edagogiques. La version “actuelle” est un peu
diff´ erente ` a la fois dans son esprit (tout `
a fait dans la veine de la Remarque 1.7)
et dans sa r´ ealisation. On renvoie bien ´ evidemment ` a la bibliographie.
Pour plus de d´ etails sur les simulations multi´ echelles en science des
mat´ eriaux, on pourra consulter les ouvrages “professionnels” : P. De´ ak, Th.
Frauenheim, M. R. Pederson [27] (et en particulier l’article R. E. Rudd &
J. Q. Broughton [68] des pages 251-291 de [27]), D. Raabe [66], O. Kirchner,
LP. Kubin, V. Pontikis [49], VV. Bulatov et coll. [18].
Pour en savoir plus sur la notion de topologie faible et ses multiples propri´ et´ es, on pourra consulter, dans l’ordre croissant de difficult´ e, le cours de
G. Allaire [2], le livre de H. Br´ ezis [16] ou le remarquable petit fascicule de
L.C. Evans [35]. L’analyse math´ ematique des probl` emes de calcul des variationsdut ypedeceuxabord ´ es dans la Section 1.5 fait l’objet d’une litt´ erature
de recherche abondante. L’essentiel de ce qui a ´ et´ ee x p o s ´ e ci-dessus est tir´ e