1.5 Vers le calcul des variations
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Pour terminer ce chapitre, abordons une autre notion tr` es importante pour
les probl` emes variationnels de la m´ ecanique que nous traitons ici, la quasiconvexit´ e.
Nous l’avons dit, la difficult´ e provient du fait que la densit´ ed ’ ´ energie W
dans (1.53) n’est pas convexe. Il s’agit donc d’affaiblir la notion de convexit´ e
pour comprendre.
D´ efinition 1.34. Une fonction W d´ efinie sur les matrices de taille M × N
et ` a valeurs dans IR ∪{+∞} est dite quasiconvexe si
Ω
W (∇v) dx ≥
Ω
W (A) dx
= |Ω| .W(A)
(1.64)
pour toute matrice A de taille M × N , toute fonction v telle que v(x) − Ax ∈
C
∞
0 (Ω, IR
M ), et tout domaine Ω (et en fait il en suffit d’un).
Quand M = 1 (et quand W est ` a valeurs dans IR), la notion de quasiconvexit´ ec o ¨ ıncide avec la notion de convexit´ e, mais d` es la dimension M ≥ 2, la
quasiconvexit´ e est une notion strictement plus faible que la convexit´ e.
M´ ecaniquement, cette propri´ et´ e de quasiconvexit´ e signifie que quand la
densit´ e W est quasiconvexe, un (des) minimiseur(s) du probl` eme
inf
Ω
W (∇ϕ(x)) dx, / ϕ = Ax sur le bord ∂Ω
,
c’est-` a-dire un ´ etat de d´ eformation du syst` e m es o u sd ´ eformation lin´ eaire du
bord consiste pr´ ecis´ ement en une d´ eformation lin´ eaire ϕ(x) ≡ Ax du domaine
tout entier.
Pour une densit´ e W g´ en´ erale, cette notion permet en fait de relaxer
le probl` eme de minimisation dans un esprit un peu diff´ erent de la section
pr´ ec´ edente. En effet, on remplace par exemple (1.53) par
inf
ϕ∈A
Ω
W
∗∗ (∇ϕ(x)) dx.
(1.65)
o` ul af o n c t i o nW
∗∗ est l’enveloppe quasiconvexe de W , c’est-` a-dire par
d´ efinition, la plus grande fonction quasiconvexe minorant W . On l’appelle
aussi la fonctionnelle d’´ energie relax´ ee.S o u sd eb o n n e sh y p o t h ` eses sur W ,
cette enveloppe quasiconvexe peut s’´ ecrire
W
∗∗ (F )=inf
1
|ω|
ω
W (∇ψ(y)) dy, / ψ = Fysur le bord ∂ω
,
o` ul’onpeutenfaitmontrerquelemembrededroitened´ epend pas du domaine
ω choisi. On verra deux exemples importants d’enveloppes quasiconvexes sur
la Figure 1.12 ; noter cependant qu’en g´ en´ eral l’enveloppe quasiconvexe d’une
fonction est tr` es dure, voire quasiment impossible, ` a calculer, ce qui rend
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Pour terminer ce chapitre, abordons une autre notion tr` es importante pour
les probl` emes variationnels de la m´ ecanique que nous traitons ici, la quasiconvexit´ e.
Nous l’avons dit, la difficult´ e provient du fait que la densit´ ed ’ ´ energie W
dans (1.53) n’est pas convexe. Il s’agit donc d’affaiblir la notion de convexit´ e
pour comprendre.
D´ efinition 1.34. Une fonction W d´ efinie sur les matrices de taille M × N
et ` a valeurs dans IR ∪{+∞} est dite quasiconvexe si
Ω
W (∇v) dx ≥
Ω
W (A) dx
= |Ω| .W(A)
(1.64)
pour toute matrice A de taille M × N , toute fonction v telle que v(x) − Ax ∈
C
∞
0 (Ω, IR
M ), et tout domaine Ω (et en fait il en suffit d’un).
Quand M = 1 (et quand W est ` a valeurs dans IR), la notion de quasiconvexit´ ec o ¨ ıncide avec la notion de convexit´ e, mais d` es la dimension M ≥ 2, la
quasiconvexit´ e est une notion strictement plus faible que la convexit´ e.
M´ ecaniquement, cette propri´ et´ e de quasiconvexit´ e signifie que quand la
densit´ e W est quasiconvexe, un (des) minimiseur(s) du probl` eme
inf
Ω
W (∇ϕ(x)) dx, / ϕ = Ax sur le bord ∂Ω
,
c’est-` a-dire un ´ etat de d´ eformation du syst` e m es o u sd ´ eformation lin´ eaire du
bord consiste pr´ ecis´ ement en une d´ eformation lin´ eaire ϕ(x) ≡ Ax du domaine
tout entier.
Pour une densit´ e W g´ en´ erale, cette notion permet en fait de relaxer
le probl` eme de minimisation dans un esprit un peu diff´ erent de la section
pr´ ec´ edente. En effet, on remplace par exemple (1.53) par
inf
ϕ∈A
Ω
W
∗∗ (∇ϕ(x)) dx.
(1.65)
o` ul af o n c t i o nW
∗∗ est l’enveloppe quasiconvexe de W , c’est-` a-dire par
d´ efinition, la plus grande fonction quasiconvexe minorant W . On l’appelle
aussi la fonctionnelle d’´ energie relax´ ee.S o u sd eb o n n e sh y p o t h ` eses sur W ,
cette enveloppe quasiconvexe peut s’´ ecrire
W
∗∗ (F )=inf
1
|ω|
ω
W (∇ψ(y)) dy, / ψ = Fysur le bord ∂ω
,
o` ul’onpeutenfaitmontrerquelemembrededroitened´ epend pas du domaine
ω choisi. On verra deux exemples importants d’enveloppes quasiconvexes sur
la Figure 1.12 ; noter cependant qu’en g´ en´ eral l’enveloppe quasiconvexe d’une
fonction est tr` es dure, voire quasiment impossible, ` a calculer, ce qui rend