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1 Mod` eles micro-macro pour les solides
∇ϕ 0 (x)=
M3
Adν x (A)
(1.62)
o` u M 3 d´ esigne, on le rappelle, l’espace des matrices 3 × 3. Du point de vue
´ energ´ etique,
M3
W (A) dν x (A)
est la densit´ ed ’ ´ energie macroscopique au point x, correspondant `
al ’ ´ energie
microscopique
W (∇ϕ n )
de la suite minimisante.
Mieux, cette notion de mesure de Young nous fournit en fait une approche
algorithmique pour les probl` emes de minimisation du type (1.52) et (1.53).
Cette approche est une version de la Th´ eorie de la relaxation. L’id´ ee de relaxation consiste ` a modifier le probl` eme de minimisation de la fa¸ con suivante.
Au lieu de tenter de minimiser (1.53), i.e.
inf
ϕ∈A
Ω
W (∇ϕ(x)) dx,
ce qui, on l’a mentionn´ e ci-dessus peut ˆ etre une tˆ ache insurmontable `
ac a u s e
de l’apparition de microstructures tr` es fines, et de kyrielles de minimiseurs
locaux pour le probl` eme discr´ etis´ e, on attaquera la minimisation de
inf
ν, ϕ telles que
∀x ∈ Ω
M3
Adν x (A)=∇ϕ(x)
Ω
M3
W (A) dν x (A) dx
(1.63)
On notera bien sˆ u rq u el ep r o b l ` eme de minimisation (1.63) g´ en´ eralise (relaxe !) le probl` eme (1.53) : il suffit de prendre dν x ≡ δ(A −∇ϕ(x)).
Evidemment, cette relaxation a un prix : l’espace variationnel a doubl´ e
puisqu’il faut non seulement discr´ etiser (par exemple par ´ el´ ements finis) les
d´ eformations ϕ,m a i sa u s s i ,e nc h a q u ep o i n tx (c’est-` a-dire en fait au niveau
discret en chaque maille du maillage ´ el´ ements finis), discr´ etiser l’espace des
m e s u r e sd eY o u n g .
Nous ne rentrons pas dans le d´ etail de ces techniques, ni de leurs am´ eliorations possibles, et renvoyons `
a la bibliographie. Mentionnons simplement que
leur mise en oeuvre pratique est tr` es lourde et que des efforts sont encore ` a
fournir pour ´ elargir l’applicabilit´ e de ces m´ ethodes.
Remarque 1.33. Le lecteur retrouvera ce sch´ ema tout au long du cours : il
y a un maillage macroscopique, et pour chacune de ses mailles, une fibre,
c’est-` a-dire un nouvel espace `
a discr´ etiser. Voir ` ac es u j e tl ar ´ ecapitulation du
Chapitre 6.
1 Mod` eles micro-macro pour les solides
∇ϕ 0 (x)=
M3
Adν x (A)
(1.62)
o` u M 3 d´ esigne, on le rappelle, l’espace des matrices 3 × 3. Du point de vue
´ energ´ etique,
M3
W (A) dν x (A)
est la densit´ ed ’ ´ energie macroscopique au point x, correspondant `
al ’ ´ energie
microscopique
W (∇ϕ n )
de la suite minimisante.
Mieux, cette notion de mesure de Young nous fournit en fait une approche
algorithmique pour les probl` emes de minimisation du type (1.52) et (1.53).
Cette approche est une version de la Th´ eorie de la relaxation. L’id´ ee de relaxation consiste ` a modifier le probl` eme de minimisation de la fa¸ con suivante.
Au lieu de tenter de minimiser (1.53), i.e.
inf
ϕ∈A
Ω
W (∇ϕ(x)) dx,
ce qui, on l’a mentionn´ e ci-dessus peut ˆ etre une tˆ ache insurmontable `
ac a u s e
de l’apparition de microstructures tr` es fines, et de kyrielles de minimiseurs
locaux pour le probl` eme discr´ etis´ e, on attaquera la minimisation de
inf
ν, ϕ telles que
∀x ∈ Ω
M3
Adν x (A)=∇ϕ(x)
Ω
M3
W (A) dν x (A) dx
(1.63)
On notera bien sˆ u rq u el ep r o b l ` eme de minimisation (1.63) g´ en´ eralise (relaxe !) le probl` eme (1.53) : il suffit de prendre dν x ≡ δ(A −∇ϕ(x)).
Evidemment, cette relaxation a un prix : l’espace variationnel a doubl´ e
puisqu’il faut non seulement discr´ etiser (par exemple par ´ el´ ements finis) les
d´ eformations ϕ,m a i sa u s s i ,e nc h a q u ep o i n tx (c’est-` a-dire en fait au niveau
discret en chaque maille du maillage ´ el´ ements finis), discr´ etiser l’espace des
m e s u r e sd eY o u n g .
Nous ne rentrons pas dans le d´ etail de ces techniques, ni de leurs am´ eliorations possibles, et renvoyons `
a la bibliographie. Mentionnons simplement que
leur mise en oeuvre pratique est tr` es lourde et que des efforts sont encore ` a
fournir pour ´ elargir l’applicabilit´ e de ces m´ ethodes.
Remarque 1.33. Le lecteur retrouvera ce sch´ ema tout au long du cours : il
y a un maillage macroscopique, et pour chacune de ses mailles, une fibre,
c’est-` a-dire un nouvel espace `
a discr´ etiser. Voir ` ac es u j e tl ar ´ ecapitulation du
Chapitre 6.