1.5 Vers le calcul des variations
33
une mesure de probabilit´ e dν x (appel´ ee une mesure de Young g´ en´ er´ ee par la
suite (u n )) telle que pour toute fonction f continue sur IR
p ,o na i t
f (u n )
n−→ +∞
⇀
I R p
f (λ) dν x (λ)
(1.60)
dans L
∞ (Ω) faible-⋆.
Si la convergence de u n vers sa limite u est forte, on sait que f (u n )converge
vers f (u)( p a rc o n t i n u i t ´ ed ef )e ta l o r sdν x (λ)=δ(λ − u(x)). En revanche, si
elle n’est pas forte, cette Proposition affirme que f (u n ) tend vers une valeur
pond´ er´ ee : pour chaque λ, la mesure de Young nous dit `
aquelpoin tu n charge
λ ` a la limite, et la valeur de lim f (u n )s’end´ eduit par somme (i.e. int´ egration).
En appliquant cette Proposition aux d´ eriv´ ees (ϕ ε )
′ des fonctions ϕ ε de la
Figure 1.11, on peut en fait montrer (nous l’admettons) que dans ce cas, la
mesure de Young qui apparaˆ ıt est ind´ ependante du point x ∈ [0, 1] et vaut
dν x (λ)=dν(λ)=
1
2
(δ λ=−1 + δ λ=1 ).
Heuristiquement, cela signifie qu’en tous les points x ∈ [0, 1], la d´ eriv´ ee vaut
asymptotiquement autant de fois −1 que 1, ce qu’on comprend bien intuitivement ` a partir de la Figure 1.11. D’une certaine mani` ere, la connaissance de
dν x (y) permet d’imaginer que le comportement est celui de la Figure 1.11,
sans pour autant le d´ e c r i r ed a n sl ed ´ etail. On a ainsi l’intuition de la forme
des microstructures qui apparaissent asymptotiquement.
Exercice 1.32. On consid` ere le probl` eme de minimisation de la forme (1.53)
suivant
inf
1
0
(
∂ϕ
∂x
2 − 1)
2 +
∂ϕ
∂y
2 dx dy / ϕ ∈ W
1,4 ([0, 1] × [0, 1]),
ϕ =0sur∂
[0, 1] × [0, 1]
.
(1.61)
Montrer que cet infimum vaut z´ ero, en en construisant une suite minimisante
particuli` ere. Expliquer (sans d´ emonstration) pourquoi il est naturel que la
mesure de Young
dν x,y (λ, µ)=dν(λ, µ)=
1
2
δ λ=−1,µ=0 + δ λ=1,µ=0
apparaisse ` a la limite.
En toute g´ en´ eralit´ e et en dimension 3, la mesure de Young pour la suite
des gradients de la suite minimisante d´ etermine, comme le faisait la limite
faible, le gradient de d´ eformation macroscopique ∇ϕ 0 par la relation
33
une mesure de probabilit´ e dν x (appel´ ee une mesure de Young g´ en´ er´ ee par la
suite (u n )) telle que pour toute fonction f continue sur IR
p ,o na i t
f (u n )
n−→ +∞
⇀
I R p
f (λ) dν x (λ)
(1.60)
dans L
∞ (Ω) faible-⋆.
Si la convergence de u n vers sa limite u est forte, on sait que f (u n )converge
vers f (u)( p a rc o n t i n u i t ´ ed ef )e ta l o r sdν x (λ)=δ(λ − u(x)). En revanche, si
elle n’est pas forte, cette Proposition affirme que f (u n ) tend vers une valeur
pond´ er´ ee : pour chaque λ, la mesure de Young nous dit `
aquelpoin tu n charge
λ ` a la limite, et la valeur de lim f (u n )s’end´ eduit par somme (i.e. int´ egration).
En appliquant cette Proposition aux d´ eriv´ ees (ϕ ε )
′ des fonctions ϕ ε de la
Figure 1.11, on peut en fait montrer (nous l’admettons) que dans ce cas, la
mesure de Young qui apparaˆ ıt est ind´ ependante du point x ∈ [0, 1] et vaut
dν x (λ)=dν(λ)=
1
2
(δ λ=−1 + δ λ=1 ).
Heuristiquement, cela signifie qu’en tous les points x ∈ [0, 1], la d´ eriv´ ee vaut
asymptotiquement autant de fois −1 que 1, ce qu’on comprend bien intuitivement ` a partir de la Figure 1.11. D’une certaine mani` ere, la connaissance de
dν x (y) permet d’imaginer que le comportement est celui de la Figure 1.11,
sans pour autant le d´ e c r i r ed a n sl ed ´ etail. On a ainsi l’intuition de la forme
des microstructures qui apparaissent asymptotiquement.
Exercice 1.32. On consid` ere le probl` eme de minimisation de la forme (1.53)
suivant
inf
1
0
(
∂ϕ
∂x
2 − 1)
2 +
∂ϕ
∂y
2 dx dy / ϕ ∈ W
1,4 ([0, 1] × [0, 1]),
ϕ =0sur∂
[0, 1] × [0, 1]
.
(1.61)
Montrer que cet infimum vaut z´ ero, en en construisant une suite minimisante
particuli` ere. Expliquer (sans d´ emonstration) pourquoi il est naturel que la
mesure de Young
dν x,y (λ, µ)=dν(λ, µ)=
1
2
δ λ=−1,µ=0 + δ λ=1,µ=0
apparaisse ` a la limite.
En toute g´ en´ eralit´ e et en dimension 3, la mesure de Young pour la suite
des gradients de la suite minimisante d´ etermine, comme le faisait la limite
faible, le gradient de d´ eformation macroscopique ∇ϕ 0 par la relation