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1 Mod` eles micro-macro pour les solides
ment(etdonconpeutins´ erer cela “au forceps” dans le mod` ele par exemple
par l’introduction d’un terme de viscosit´ e comme dans (1.59)
5 )
-maisd’unautrecˆ ot´ e, du point de vue de la mod´ elisation (et aussi surtout du
point de vue du calcul scientifique), mˆ eme si ces oscillations sont born´ ees
` a une ´ echelle tr` es fine, cette derni` ere peut s’av´ erer tellement fine qu’il vaut
mieux la consid´ erer en pratique comme nulle. Ainsi, quelques Angstr¨ oms
valent z´ ero ` al ’ ´ echelle du m` etre car g´ erer 10
−10 num´ eriquement n’est pas
facile.
Il ressort de cela qu’une strat´ egie tout ` a fait raisonnable peut ˆ etre de
d´ elib´ er´ ement attaquer ces probl` emes avec microstructures infiniment fines,
plutˆ ot que de traiter explicitement la petite ´ echelle. Nous prenons ici le contrepied de l’approche que nous prendrons dans d’autres chapitres de ce cours.
Certes. Mais comment traiter de tels probl` emes, et que faut-il calculer
dans de telles situations pour obtenir la “m´ ecanique” des choses ? Nous allons
le voir maintenant.
1.5.2 Techniques pour les microstructures
Il est instructif de revenir d’abord sur la notion de convergence faible :
rappelons-nous la suite sin (2πnx), qui converge faiblement dans L
2 ([0, 1])
vers 0 (et en fait dans tous les L
p ,1≤ p<+∞ et dans L
∞ ([0, 1]) faible-⋆).
La bonne fa¸ con de d´ ecrire son comportement macroscopique a´ et´ ed en ep a s
essayer de suivre ses oscillations de plus en plus fines mais de tout simplement
consid´ erer sa limite faible, ` as a v o i rz ´ ero.
Appliquons la mˆ eme technique ` a la suite minimisante de la Figure 1.11.
Elle converge fortement vers z´ ero, mais on peut d´ ecrire le comportement de
sa d´ eriv´ ee par limite faible : sa d´ eriv´ ee converge faiblement vers z´ ero. En un
certain sens, la fonction nulle est donc le “minimiseur” du probl` eme (1.57).
Cela dit, cette notion de limite faible ne renseigne pas beaucoup sur la
forme de la suite minimisante de la Figure 1.11. On peut en fait d´ ecrire de
mani` ere plus d´ etaill´ ee le comportement d’une suite qui converge faiblement
mais pas n´ ecessairement fortement. C’est l’objet de la Proposition suivante,
qui introduit la notion de mesure de Young
6
Proposition 1.31. Soit (u n ) une suite de fonctions de Ω ⊂ IR
N `
a valeurs
dans IR
p (il peut donc s’agir de fonctions `
a valeurs vectorielles). Supposons
que cette suite est born´ ee, ind´ ependamment de n, dans L
∞ (Ω, IR
p ).A l o r s ,i l
existe une sous-suite, que nous d´ enoterons encore u n , et pour chaque x ∈ Ω
5 U nt e r m ed ec et y p ee s tp a re x e m p l el et e r m ed ’ ´ energie d’interface microscopique, qui suffit le plus souvent ` a borner les variations de d´ eformation microscopique.
6 Pour les fanas maths, signalons que les mesures de Young sont une fa¸ con, parmi
d’autres, de quantifier la non compacit´ e d’une suite, c’est-` a-dire de quantifier ` aq u e l
point la convergence faible n’est pas forte. On parle de d´ efaut de compacit´ e,e ta i n s i
de mesures de d´ efaut.
1 Mod` eles micro-macro pour les solides
ment(etdonconpeutins´ erer cela “au forceps” dans le mod` ele par exemple
par l’introduction d’un terme de viscosit´ e comme dans (1.59)
5 )
-maisd’unautrecˆ ot´ e, du point de vue de la mod´ elisation (et aussi surtout du
point de vue du calcul scientifique), mˆ eme si ces oscillations sont born´ ees
` a une ´ echelle tr` es fine, cette derni` ere peut s’av´ erer tellement fine qu’il vaut
mieux la consid´ erer en pratique comme nulle. Ainsi, quelques Angstr¨ oms
valent z´ ero ` al ’ ´ echelle du m` etre car g´ erer 10
−10 num´ eriquement n’est pas
facile.
Il ressort de cela qu’une strat´ egie tout ` a fait raisonnable peut ˆ etre de
d´ elib´ er´ ement attaquer ces probl` emes avec microstructures infiniment fines,
plutˆ ot que de traiter explicitement la petite ´ echelle. Nous prenons ici le contrepied de l’approche que nous prendrons dans d’autres chapitres de ce cours.
Certes. Mais comment traiter de tels probl` emes, et que faut-il calculer
dans de telles situations pour obtenir la “m´ ecanique” des choses ? Nous allons
le voir maintenant.
1.5.2 Techniques pour les microstructures
Il est instructif de revenir d’abord sur la notion de convergence faible :
rappelons-nous la suite sin (2πnx), qui converge faiblement dans L
2 ([0, 1])
vers 0 (et en fait dans tous les L
p ,1≤ p<+∞ et dans L
∞ ([0, 1]) faible-⋆).
La bonne fa¸ con de d´ ecrire son comportement macroscopique a´ et´ ed en ep a s
essayer de suivre ses oscillations de plus en plus fines mais de tout simplement
consid´ erer sa limite faible, ` as a v o i rz ´ ero.
Appliquons la mˆ eme technique ` a la suite minimisante de la Figure 1.11.
Elle converge fortement vers z´ ero, mais on peut d´ ecrire le comportement de
sa d´ eriv´ ee par limite faible : sa d´ eriv´ ee converge faiblement vers z´ ero. En un
certain sens, la fonction nulle est donc le “minimiseur” du probl` eme (1.57).
Cela dit, cette notion de limite faible ne renseigne pas beaucoup sur la
forme de la suite minimisante de la Figure 1.11. On peut en fait d´ ecrire de
mani` ere plus d´ etaill´ ee le comportement d’une suite qui converge faiblement
mais pas n´ ecessairement fortement. C’est l’objet de la Proposition suivante,
qui introduit la notion de mesure de Young
6
Proposition 1.31. Soit (u n ) une suite de fonctions de Ω ⊂ IR
N `
a valeurs
dans IR
p (il peut donc s’agir de fonctions `
a valeurs vectorielles). Supposons
que cette suite est born´ ee, ind´ ependamment de n, dans L
∞ (Ω, IR
p ).A l o r s ,i l
existe une sous-suite, que nous d´ enoterons encore u n , et pour chaque x ∈ Ω
5 U nt e r m ed ec et y p ee s tp a re x e m p l el et e r m ed ’ ´ energie d’interface microscopique, qui suffit le plus souvent ` a borner les variations de d´ eformation microscopique.
6 Pour les fanas maths, signalons que les mesures de Young sont une fa¸ con, parmi
d’autres, de quantifier la non compacit´ e d’une suite, c’est-` a-dire de quantifier ` aq u e l
point la convergence faible n’est pas forte. On parle de d´ efaut de compacit´ e,e ta i n s i
de mesures de d´ efaut.