1.5 Vers le calcul des variations
31
Remarque 1.30. Noter qu’on pourrait aussi bien, pour cet exemple (1.57), supprimer la condition au bord ϕ(0) = ϕ(1) = 0 et minimiser sur toutes les
fonctions de W
1,4 ([0, 1]) tout en obtenant la mˆ eme situation. On pourrait
aussi raisonner sur d’autres conditions de Dirichlet, an amendant l´ eg` erement
le raisonnement.
A ce stade et avant de continuer sur le traitement math´ ematique de ces
probl` emes mod` eles, il est utile de s’arr´ eter un peu sur la d´ emarche g´ en´ erale.
Les probl` emes comme (1.54) sont symboliques de probl` emes de la m´ ecanique o` u une fonctionnelle de densit´ ed ’ ´ energie, bien que ne faisant pas apparaˆ ıtre explicitement de petites ´ echelles, en fait apparaˆ ıtre implicitement lors
de sa minimisation. Le gradient ϕ
′
n de la suite minimisante ϕ n oscille entre
diff´ erentes valeurs, et ce ` ades´ echelles de plus en plus petites, pour permettre
` al as u i t eϕ n d’approcher asymptotiquement la valeur de l’infimum d’´ energie.
Ces petites ´ echelles peuvent devenir infiniment petites. On argumentera alors
que ce dernier point n’est pas possible. En effet, si la fonction ϕ figure une
d´ eformation, la d´ eformation ne peut pas varier `
a une ´ echelle infiniment petite,
car l’´ echelle la plus fine ` a laquelle elle peut varier est l’´ echelle atomique, et en
fait en g´ en´ eral une ´ echelle sensiblement sup´ erieure. Que s’est -il donc pass´ e?
01
Fig. 1.11. Suite minimisante pour (1.57).
En fait,
-d ’ u nc ˆ
ot´ e, ces oscillations infiniment petites sont un artefact de la mod´ elisation, car pour des raisons physiques elles devraient ˆ etre born´ ee inf´ erieure-
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Remarque 1.30. Noter qu’on pourrait aussi bien, pour cet exemple (1.57), supprimer la condition au bord ϕ(0) = ϕ(1) = 0 et minimiser sur toutes les
fonctions de W
1,4 ([0, 1]) tout en obtenant la mˆ eme situation. On pourrait
aussi raisonner sur d’autres conditions de Dirichlet, an amendant l´ eg` erement
le raisonnement.
A ce stade et avant de continuer sur le traitement math´ ematique de ces
probl` emes mod` eles, il est utile de s’arr´ eter un peu sur la d´ emarche g´ en´ erale.
Les probl` emes comme (1.54) sont symboliques de probl` emes de la m´ ecanique o` u une fonctionnelle de densit´ ed ’ ´ energie, bien que ne faisant pas apparaˆ ıtre explicitement de petites ´ echelles, en fait apparaˆ ıtre implicitement lors
de sa minimisation. Le gradient ϕ
′
n de la suite minimisante ϕ n oscille entre
diff´ erentes valeurs, et ce ` ades´ echelles de plus en plus petites, pour permettre
` al as u i t eϕ n d’approcher asymptotiquement la valeur de l’infimum d’´ energie.
Ces petites ´ echelles peuvent devenir infiniment petites. On argumentera alors
que ce dernier point n’est pas possible. En effet, si la fonction ϕ figure une
d´ eformation, la d´ eformation ne peut pas varier `
a une ´ echelle infiniment petite,
car l’´ echelle la plus fine ` a laquelle elle peut varier est l’´ echelle atomique, et en
fait en g´ en´ eral une ´ echelle sensiblement sup´ erieure. Que s’est -il donc pass´ e?
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Fig. 1.11. Suite minimisante pour (1.57).
En fait,
-d ’ u nc ˆ
ot´ e, ces oscillations infiniment petites sont un artefact de la mod´ elisation, car pour des raisons physiques elles devraient ˆ etre born´ ee inf´ erieure-