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1 Mod` eles micro-macro pour les solides
Supposons qu’on veuille approcher ce probl` eme par une m´ ethode ´ el´ ements
finis, P1 par exemple. Pour une taille de maillage h fix´ ee, seules les fonctions ϕ ε
avec ε ≥ h appartiendront `
a l’espace variationnel, d’o` u une borne inf´ erieure
sur les microstructures due `
al ad i s c r ´ etisation elle-mˆ eme. Il existera alors un
minimiseur, mais qui n’aura aucun caract` ere intrins` eque, puisqu’il oscillera de
plus en plus quand h diminuera.
En fait, il est mˆ eme possible de prouver, par une ´ etude math´ ematique tr` es
fine, que le probl` eme discr´ etis´ ep o s s ` ede, ` a h fix´ e, un tr` es grand nombre de
minimiseurs locaux, non globaux, tr` es proche en ´ energie du minimiseur global
(` a h fix´ e), ce qui causera d’´ enormes difficult´ es quand on tentera de minimiser
le probl` eme avec un algorithme de minimisation directe.
Si la discr´ etisation peut borner inf´ erieurement la taille des microstructures, un terme additif dans la fonctionnelle d’´ energie peut jouer le mˆ eme
rˆ ole. Consid´ erons en effet
inf
1
0
((ϕ
′ (x)
2 − 1)
2 dx +
1
0
ϕ(x)
2 dx + η
2
1
0
(ϕ
′′ (x))
2 dx, /
ϕ ∈ W
1,4 ([0, 1]),ϕ
′′ ∈ L
2 ([0, 1]),
ϕ(0) = ϕ(1) = 0
,
(1.58)
et
inf
1
0
((ϕ
′ (x)
2 − 1)
2 dx + η
2
1
0
(ϕ
′′ (x))
2 dx, /
ϕ ∈ W
1,4 ([0, 1]),ϕ
′′ ∈ L
2 ([0, 1]),
ϕ(0) = ϕ(1) = 0
, (1.59)
o` u η est un petit param` etre. Ainsi d´ efinis,
les probl` emes (1.58) et (1.59) ont (au moins) un minimiseur.
L’id´ ee est que le terme additif am` ene de la viscosit´ e : il permet de montrer
que la d´ eriv´ ee seconde d’une suite minimisante est born´ ee dans L
2 par
1
η
,e t
donc que la taille de la microstructure (i.e. des oscillations) ne peut pas ˆ etre
inf´ erieure ` a η. Nous laissons au lecteur, dans l’Exercice 1.29 ci-dessous, le soin
de formaliser ce raisonnement.
Exercice 1.29. Sur les probl` emes (1.58) et (1.59), formaliser avec rigueur
le raisonnement ci-dessus (on utilisera sans n´ ecessairement la d´ emontrer la
propri´ et´ e suivante : la norme L
2 est semi continue inf´ erieurement pour la
topologie faible).
1 Mod` eles micro-macro pour les solides
Supposons qu’on veuille approcher ce probl` eme par une m´ ethode ´ el´ ements
finis, P1 par exemple. Pour une taille de maillage h fix´ ee, seules les fonctions ϕ ε
avec ε ≥ h appartiendront `
a l’espace variationnel, d’o` u une borne inf´ erieure
sur les microstructures due `
al ad i s c r ´ etisation elle-mˆ eme. Il existera alors un
minimiseur, mais qui n’aura aucun caract` ere intrins` eque, puisqu’il oscillera de
plus en plus quand h diminuera.
En fait, il est mˆ eme possible de prouver, par une ´ etude math´ ematique tr` es
fine, que le probl` eme discr´ etis´ ep o s s ` ede, ` a h fix´ e, un tr` es grand nombre de
minimiseurs locaux, non globaux, tr` es proche en ´ energie du minimiseur global
(` a h fix´ e), ce qui causera d’´ enormes difficult´ es quand on tentera de minimiser
le probl` eme avec un algorithme de minimisation directe.
Si la discr´ etisation peut borner inf´ erieurement la taille des microstructures, un terme additif dans la fonctionnelle d’´ energie peut jouer le mˆ eme
rˆ ole. Consid´ erons en effet
inf
1
0
((ϕ
′ (x)
2 − 1)
2 dx +
1
0
ϕ(x)
2 dx + η
2
1
0
(ϕ
′′ (x))
2 dx, /
ϕ ∈ W
1,4 ([0, 1]),ϕ
′′ ∈ L
2 ([0, 1]),
ϕ(0) = ϕ(1) = 0
,
(1.58)
et
inf
1
0
((ϕ
′ (x)
2 − 1)
2 dx + η
2
1
0
(ϕ
′′ (x))
2 dx, /
ϕ ∈ W
1,4 ([0, 1]),ϕ
′′ ∈ L
2 ([0, 1]),
ϕ(0) = ϕ(1) = 0
, (1.59)
o` u η est un petit param` etre. Ainsi d´ efinis,
les probl` emes (1.58) et (1.59) ont (au moins) un minimiseur.
L’id´ ee est que le terme additif am` ene de la viscosit´ e : il permet de montrer
que la d´ eriv´ ee seconde d’une suite minimisante est born´ ee dans L
2 par
1
η
,e t
donc que la taille de la microstructure (i.e. des oscillations) ne peut pas ˆ etre
inf´ erieure ` a η. Nous laissons au lecteur, dans l’Exercice 1.29 ci-dessous, le soin
de formaliser ce raisonnement.
Exercice 1.29. Sur les probl` emes (1.58) et (1.59), formaliser avec rigueur
le raisonnement ci-dessus (on utilisera sans n´ ecessairement la d´ emontrer la
propri´ et´ e suivante : la norme L
2 est semi continue inf´ erieurement pour la
topologie faible).